Главная › Библиотека › Статьи

Александр Болдачев. Точка и граница

Информация
Александр Болдачев
Год написания: 
2019
Систематизация и связи
Онтология
Философия науки и техники

Предлагается решение задачи обоснования геометрии: как не впадая в ересь суммирования того, что не имеет размеров, то есть точек, ввести основные понятия геометрии (линия, прямая, поверхность, плоскость). Идея проста: не надо обсуждать то, что не дано непосредственно, то есть точки, давайте оперировать проявленным, однозначно выделяемым - границами. И тогда не придется искать ответ на вопрос: а сколько точек в отрезке длиной в 1 см, если он состоит из точек. В описании геометрии через границы отрезок - это фрагмент прямой между двумя границами. Можно и нужно, конечно, писать "между двумя точками", но имея в виду, что точка - это граница на линии. У этой границы, как и у каждой границы нет протяженности.

Итак, давайте попробуем поработать с границами:
  1. исходно непосредственным неопределяемым понятием геометрии, что и естественно, является пространство - тут надо просто развести руками и сказать что-то типа "вот это все, где мы будем строить нашу геометрию;
  2. далее отмечается, что пространство делимо, в нем можно выделять области - можно показать руками шар или рассечь одной рукой пространство на две части;
  3. то, что отделяет одни области пространства от других областей следует называть границами, и очевидно, что границы не имеют толщины, то есть они ни из чего не состоят;
  4. поверхность - это граница между областями пространства 
  5. линия - это граница между между областями на поверхности
  6. точка - это граница между областями на линии

Далее еще один важный момент: отмечаем, что точек (границ) на линии может быть множество. И если мы выделим на линии одну из точек, то все остальные точки на линии относительно нее будут характеризоваться неким свойством, которое можно назвать удаленностью. То есть некоторые точки на линии будут менее удалены (ближе) от выделенной точки, а другие более удалены (дальше).

Теперь можно ввести понятие "расстояние между точками в пространстве". Для этого отметим, что границы областей (точки) на разных линиях могут совпадать и линии с совпадающими точками будем называть пересекающимися (по сути, можно говорить, что границы на линии и задаются взаимным пересечением линий). Понятно, что две линии могут пересекаться во множестве точек. То есть через две точки на некой линии может проходить множество других линий, и на каждой линии из этого множества удаленность одной точки от другой будет разная. И среди всех линий найдется такая, на которой удаленность точек друг от друга будет минимальной. Эту линию будем называть прямой (по крайней мере, на отрезке между двумя этими точками). Продолжим:

  1. прямая - это линия, для двух любых точек которой будет выполняться условие минимальности их удаленности друг от друга по сравнению со всеми другими линиями проходящими через эти две точки;
  2. расстояние между точками - это удаленность друг от друга точек, расположенных на прямой;
  3. отрезок - это область прямой между двумя границами (точками);
  4. длина отрезка - расстояние между границами отрезка;
  5. точка на поверхности - это точка на линии, являющейся границей областей на этой поверхности
  6. плоскость - это поверхность, на которой прямая линия, проведенная между любыми двумя точками на поверхности является линией (границей между областями) этой поверхности.

Можно еще шлифовать, но и так очевидно, что такая схема ввода геометрический понятий менее противоречива и более стройна, чем традиционный подход с суммированием точек. 

Следует отметить, что при всех геометрических построениях (скажем, при доказательстве теорем), которые начинаются постановкой точек на доске, в конечном итоге не остается ни одной точки, через которую не проведена линия. То есть после завершения построений все точки оказываются именно и только на линиях, то есть должны трактоваться как границы, задаваемые пересечением линий. 

Дополнение и уточнение 

30.04.2024

Уточнение и дополнение к предложенной ранее схеме ввода геометрических примитивов.

Итак, постулируем пространство, как общее вместилище всех геометрических объектов. Далее констатируем, что пространство делимо, то есть его можно разделить на две области таким образом, что некий выделенный объект (пространственный объект) будет принадлежать одной области пространства и не будет принадлежать второй. При разделении пространства на области возникает новая сущность - граница между областями, которая не принадлежит ни одной из областей. Пространство можно разделить на две области двумя способами: с открытой границей и с закрытой границей [здесь пока исходим из интуитивной понятности, как формально зафиксировать разницу между закрытой и открытой областью пока не рассматриваем, есть варианты]. Каждая область может быть разделена на подобласти, с формированием новых границ.

Выделение внутри замкнутой области другой замкнутой области позволяет ввести еще одно понятие понятие "объем области пространства", как сравнительную характеристику замкнутых областей: если замкнутая область пространства B полностью находится внутри другой замкнутой области пространства A (так, что любой пространственный объект, принадлежащий B, принадлежит и A), то следует говорить, что объем области A больше объема области B. Введя понятие "объем пространства" мы можем констатировать, что граница областей пространства не обладает объемом.

Ну а дальше все по аналогии. Введем термин "поверхность" для обозначения понятия "граница области пространства". Поверхность может быть разделена на области. Для сравнения замкнутых областей поверхностей введем понятие "площадь области поверхности". Граница области поверхности не принадлежит разделяемых ею областям и не имеет площади.

Для обозначения понятия "граница области на поверхности" введем термин "линия". Линия может быть разделена на области. Для сравнения замкнутых областей линии вводится понятие "длина области линии". Границы области линии не принадлежат областям и не имеют длины. Для обозначения понятия "граница области линии" вводится термин "точка".

4.05.2024

Коротко напомню логику введения основных понятий: (1) первоначально постулируется неопределенное понятие "пространство", (2) устанавливается деление пространства на области с границами, называемыми "поверхностью", (3) поверхности, в свою очередь, делятся на области с границами, называемыми линиями, (4) а границы областей/фрагментов линии обозначаются как "точки". Параллельно, при сравнении взаимно вложенных замкнутых областей в пространстве, на поверхности и на линии, вводятся соответствующие понятия "объем области пространства", "площадь области поверхности" и "длина фрагмента линии". При этом уточняется, что граница пространственной области, то есть поверхность, не имеет объема, линия не имеет площади, а точка не имеет длины (см. предыдущий пост).
 
Теперь остался последний шаг: ввести понятие "прямая линия". Это непросто, поскольку ранее линия определялась как граница любой области на любой поверхности, тогда как прямая - это специфическая линия-граница на специфической поверхности (плоскости). Возможно, удастся определить прямую, минимизируя длину линии, после "отделения" линии и её границ от поверхности и представления их в пространство.
 
Прежде всего, нужно убедиться, что мы можем свободно оперировать понятием "длина". Если на фрагменте/области линии, заданной двумя границами-точками, выделяется другой фрагмент линии, то говорим, что длина вложенного фрагмента меньше длины внешнего фрагмента. Это следует из определения длины и не требует операций измерения, поскольку фрагменты и их границы принадлежат одной линии. Однако, приняв за эталон некоторый фрагмент линии — например, кусок неэластичной нити — и прикладывая его к различным фрагментам разнообразных линий, мы можем измерять и, следовательно, сравнивать их длины. Всё кажется справедливым.
 
Затем приступаем к следующим построениям: (1) на произвольной поверхности проводим произвольную линию и выделяем на ней произвольный фрагмент с границами-точками A и B, (2) через точки A и B на этой же поверхности проводим другую линию, а затем ещё одну и так далее. Таким образом, фиксируем возможность проведения бесконечного числа линий через две точки, принадлежащие одной поверхности. Измеряя длину полученных фрагментов линий, делаем вывод, что среди множества фрагментов обязательно найдется фрагмент с минимальной длиной.
 
Далее, вспоминая, что исходная поверхность является границей пространственной области, утверждаем, что (4) точки A и B принадлежат пространству. Отмечаем, что (5) через точки A и B можно провести не одну, а множество поверхностей и (6) на каждой из этих поверхностей, в свою очередь, можно построить бесконечное число линий, проходящих через A и B. Очевидно, что среди всех этих поверхностей найдется такая, на которой минимальная длина фрагмента линии между точками A и B будет наименьшей по сравнению с минимальными фрагментами на других поверхностях. Минимальный фрагмент линии между точками в пространстве A и B называем отрезком прямой. Линию, у которой любой фрагмент (то есть фрагмент между любыми двумя точками) является отрезком прямой, будем называть прямой линией или просто прямой. И последний штрих: поверхность, на которой между любыми двумя точками можно провести прямую линию, или, что равносильно, можно построить отрезок прямой, называем плоскостью.
В итоге получилась геометрия, в которой базовые понятия (включая точку) фиксируются как границы, что исключает необходимость определять геометрические объекты через множество точек.
 
Остался только должок с определением замкнутых областей пространства и поверхностей.
boldachev, 22 Январь, 2020 - 17:58