I.

После очередного раунда размышлений надо парадоксом брадобрея я пришел к выводу, что его (как и другие парадоксы) можно и нужно формулировать в двух вариантах: (1) в виде абсурда и (2) в виде загадки.

В первом варианте основание парадокса демонстрируется явно в виде очевидного противоречия, которое невозможно разрешить: брадобрею дан приказ брить тех и только тех, кто не бреет себя и не брить тех, кто не бреет себя; должен ли брадобрей брить себя? В этой формулировке сразу понятна абсурдность, невыполнимость приказа по отношению к брадобрею.

А вот как этот же парадокс можно сформулировать в виде загадки: в деревне все бреющиеся мужчины делятся на тех, кто бреется сам и тех, кого бреет брадобрей; кто бреет брадобрея? Тут в условии загадки (в отличие от формулировки с приказом) нет никакого абсурда, но скрыта логическая ошибка, не позволяющая дать однозначный ответ.

Именно вследствие не понимания возможности этого разделения и возник наш спор с Сергеем Александровым - он утверждал, что парадокс имеет место только в первом случае - в случае абсурда, а я отвечал - да нет же, парадокс может быть сформулирован и без всяких "только и всегда". А можно и так, и так - при этом суть, причина парадокса ("абсурдности" или "загадочности") остается одна и та же: расширение действия локально контрадикторных предикатов на множество, на котором они не контрадикторны - подведение брадобрея под действие приказа или включение его во множество всех бреющихся.

II.

Второй вывод, который был получен после размышлений таков: я действительно был не прав, говоря, что парадокс брадобрея не имеет отношения к парадоксу Рассела - они всё же одного поля ягоды, как сказал Рассел, и как на слово верил ему Александров - сформулировать парадокс брадобрея в терминах множества всех множеств - дело безнадежное. А вот наоборот - подвести парадокс Рассела под парадокс брадобрея - оказалось возможным и очень понятным: то есть парадокс Рассела также связан с неоднозначностью области локальной контрадикторности.

Напомню парадокс Рассела:

Пусть M — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли M само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению M, оно не должно быть элементом M — противоречие. Если нет — то, по определению M, оно должно быть элементом M — вновь противоречие.

Тут надо забыть про теорию множеств и про множества вообще и проанализировать логические субъекты (множества) и их предикаты. В условиях множествам приписываются предикаты: (1) "содержат себя в качестве своего элемента" и (2) "содержаться в множестве всех множеств". На области всех множеств без множества множеств эти предикаты контрадикторны, а вот на полном множестве (с включенным множеством всех множеств) - нет. Схема абсолютно аналогичная структуре парадокса брадобрея.

Итак, парадоксы Рассела и брадобрея идентичны, но вот только не парадокс брадобрея иллюстрирует парадокс теории множеств, а парадокс множества всех множеств связан с явной логической ошибкой.