Доказательство теоремы Ферма в уме

Аватар пользователя Пенсионер
Систематизация и связи
Логика

Возьмём три пустых куба a3, b3, c3, такие что a<b<c, и будем их заполнять. Чем? Детскими кубиками? Водой? Отравляющим газом? Людьми? Идеями?

Можно воспользоваться чем угодно: кубиками, шариками, камешками, снарядами, учебниками, цифрами, причём из какого угодно материала, какого угодно размера и какой угодно конфигурации. Однако для полной уверенности в том, что по форме мы получили именно куб, необходимо выстроить наши предметы, будь они одинаковыми или неодинаковыми, в структуру куба: по длине, ширине и высоте этих предметов должно быть одинаковое число. В этом и заключается математическое условие, необходимое для доказательства теоремы, в противном случае мы не получим куб. Из девяти предметов кубическую форму не получить, ибо один из предметов окажется лишним.

Число обозначается точкой на числовой оси, поэтому воспользуемся именно точками для заполнения трёх объёмов a3, b3, c3. Чтобы эти объёмы приняли форму кубов, точки по мере их заполнения должны расположиться в структуру A×A×A.

Итак, начнём заполнять три куба, закладывая на каждом шаге ровно по одной точке в куб a3 и в куб c3. Когда малый куб окажется сформированным полностью — а сформируется он, разумеется, первым — продолжим раскладывать точки тем же образом, строго по одной, но теперь уже в средний куб b3 вместо самого маленького, а вторую точку будем по-прежнему помещать в большой куб.

В тот момент, когда большой куб c3 окажется построенным полностью, остановим процесс и подведём окончательные итоги.

  1. Самый маленький объём представляет собой точный куб a3.
  2. Самый большой объём представляет собой точный куб c3.
  3. Средний объём не является геометрически точным кубом.

По поводу первых двух пунктов сомнений нет, это верно по построению. Но откуда мы знаем, третий объём — не куб?

Данный факт был доказан Леонардом Эйлером ещё в 1770 году. Сформулировать его заключение можно так: из трёх кубов в уравнении Ферма по крайней мере один не является кубом.

Несмотря на то, что промежуточный объём между a3 и c3 не является точным кубом, в нём достаточно точек для того, чтобы образовать из них точный куб по крайней мере не меньший, чем a3, ибо 2a3 < c3 в силу принятого нами условия a<b<c.

Отсюда можно уверенно заключить, что большой куб c3 содержит в себе больше точек, чем их насчитывается в двух малых кубах:

a3 + (b3 + лишние точки) = c3

Теперь изменим порядок сборки, начиная процесс не с малого куба a3, а со среднего куба b3. По завершении заполнения большого куба c3 приходим к следующим итогам.

  1. Средний объём представляет собой точный куб b3.
  2. Самый большой объём представляет собой точный куб c3.
  3. Самый маленький объём не является точным кубом.

Количества точек, уже существующих в самом маленьком объёме, не хватит на то, чтобы сложить из них следующий по размеру точный куб (a+1)3, но их непременно хватит на то, чтобы построить из них вполне законченный геометрический куб a3. Ведь по крайней мере восемь точек там уже имеется, так как наименьшее значение числа a равно трём:

a + b = c + d

Число d в этом уравнении является наименьшим и чётным, а наименьшее чётное число — это двойка. Следовательно, наименьшее число a равняется трём. А этого уже достаточно, чтобы констатировать наличие точного куба a3 в левой части уравнении Ферма:

(a3 + лишние кубики) + b3 = c3

Но раз большой куб всегда превышает два малых куба уже при n=3, тем более теорема Ферма справедлива для более высоких показателей n>3. Что и требовалось доказать в уме.

Для общего доказательства теоремы Ферма вполне достаточно доказательства для случая n=3.

Оппоненты могут возразить:

— Остановите процесс сборки не на большом кубе, а на двух малых, и тогда лишние кубики у вас окажутся в правой части уравнения Ферма. Следовательно, большой куб может быть и меньше двух малых.

— Неужели объём большого куба может измениться, если заполнять его другим каким-нибудь способом? Кубы-то одни те же!

— А вы возьмите другие три куба и завершите сборку на двух малых кубах!

— Что значит «взять другие кубы»? Поменять буковки abc на буковки k, lm?

Самая большая глупость — это делать одно и то же снова и снова в надежде на другой результат (А. Эйнштейн).

Этому афоризму Эйнштейна можно противопоставить противоположное по содержанию высказывание:

Самая большая глупость — это заполнять один и тот же объём самыми разными способами снова и снова в надежде на другой результат.

Видимо, Пьер Ферма неслучайно застолбил в своей теореме именно большой куб, а не два малых. Похоже, людям в XVII веке было уже известно, что получение целого из частей — путь индуктивный, запрещённый законами логики.

Возникает стойкое ощущение, что эта тема не чисто математическая, есть в ней что-то глубоко философское. Или это чувство меня обманывает?

 

Комментарии

Аватар пользователя Пенсионер

Возникает стойкое ощущение, что эта тема не чисто математическая, есть в ней что-то глубоко философское.

Под философским смыслом я понимаю здесь категорию "пространство", которая, очевидно, не может быть ни чисто физической, ни чисто геометрической.
 

Аватар пользователя Vladimirphizik

При чем здесь пространство, если вы решаете задачу вариационно (вариации по заполнению слоев в разных кубах)?

Аватар пользователя Пенсионер

Vladimirphizik, 10 Июль, 2020 - 15:06, ссылка

При чем здесь пространство, если вы решаете задачу вариационно (вариации по заполнению слоев в разных кубах)?

Вы сказали "в кубах"? И к пространству, по вашему мнению, это отношения не имеет?

Аватар пользователя Vladimirphizik

Аватар пользователя Пенсионер

Vladimirphizik, 10 Июль, 2020 - 15:27, ссылка

И что?

Аватар пользователя Vladimirphizik

А ничего.

Есть варианты укладки единичных кубиков. В вашем случае - точек.

Аватар пользователя Пенсионер

Vladimirphizik, 10 Июль, 2020 - 15:45, ссылка

А ничего.

Правильно ли я вас понял, что вы не хотели выразить никакой мысли, а комментарий написали просто так? Или мысль всё-таки была?

Аватар пользователя Vladimirphizik

Я очень четко выразил свою мысль: задача сугубо вариационная. Пространство здесь не при делах.

Допустим, что существуют такие целые числа, что сумма их кубов равна какому-то целому числу в кубе. Все сводится к трем кубикам, состоящим из единичных кубиков. Например, три в кубе - это девять единичных кубиков.

Возьмем кубик А, разложим его на слои и из слоев построим плоскость. Чтобы доказать теорему Ферма, нужно доказать, что есть такие кубики, когда один из размотанных в плоскость кубик без остатка или недостатка, а полностью обернется вокруг другого кубика, в итоге создав результирующий кубик. Чисто вариационная задача. Сводится к доказательству, что целых "выкроек" из плоскости получить нельзя ни для каких целых чисел. И где здесь пространство? Нужно всего-то создать правильные выкройки и приклеить их к другому кубику так, чтобы выкройки получились без изъянов.

Спасибо за внимание.

Аватар пользователя Пенсионер

Vladimirphizik, 10 Июль, 2020 - 16:42, ссылка

И где здесь пространство?

В теории Ньютона пространство абсолютно, оно не меняется и не искривляется, потому что служит системой отсчёта для всех происходящих в мире процессов.

В теории Эйнштейна, однако, пространство может искривляться, и, таким образом, точки могут просто выпасть за пределы некоторого начального объёма. Это во-первых. Во-вторых, понятие куба в евклидовом понимании как x×x×x у Эйнштейна попросту теряет определённость, в том числе логическую. Надо следить за изменениями, но относительно чего? Относительно тел, которые находятся в непрерывном движении?

Мой вопрос вполне законен: пространство, в котором куб нельзя разложить на два куба без избытка или недостатка, должно быть устроено иначе, чем пространство, в котором это возможно.

Как же, помилуйте, пространство здесь ни при чём? Это главная категория во всяком мировоззрении. Ибо вне пространства не существует ничего, о чём бы вы здесь ни говорили.

Аватар пользователя Vadim Sakovich

И всё же пространство тут ни при чём. Если вы хотите задачу Ферма решать во вселенском масштабе, но пользуетесь арифметикой, в которой сложение числа с единицей происходит по одним и тем же правилам (три больше, чем два на единицу; 10 в сотой плюс единица больше десять в сотой на единицу), то не "жалуйтесь" на пространство. Жалуйтесь на арифметику. :)
 

Аватар пользователя Пенсионер

Vadim Sakovich, 13 Июль, 2020 - 10:50, ссылка

И всё же пространство тут ни при чём.

Вы какое пространство имеете в виду - пространство Ньютона или Эйнштейна?

У Эйнштейна оно искривляется, и, следовательно, то, что невозможно в абсолютном пространстве Ньютона, возможно в пространстве Эйнштейна.

Простой вопрос: точки в пространстве, которые мы называем пространственными, располагаются друг относительно друга хаотично, как попало, или всё-таки строго определённым образом? Если строго определённым, то пространство имеет структуру, которую надо в теории определить. Ибо если пространство структурировано в систему, то не во всякую точку можно попасть, ведь её в каком угодно месте может и не оказаться, как не оказалось такого куба и с такими вершинами, которые удовлетворяли бы теореме Ферма.

Если же куда пальцем ни ткни - попадёшь обязательно в точку, то получится совсем другая теория с другими решениями одной и той же задачи.

 

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Говоря о том, что пространство тут ни при чём, я имел в виду задачу Ферма. Неужели там надо учитывать какие-то искривления пространства вызванные сумасшедшими расстояниями и тяготением.
 

Аватар пользователя Пенсионер

Vadim Sakovich, 13 Июль, 2020 - 19:57, ссылка

Говоря о том, что пространство тут ни при чём, я имел в виду задачу Ферма.

Объём - понятие пространственное. Теорема Ферма может быть справедлива в пространстве Евклида, но несправедлива в пространстве Лобачевского или Эйнштейна.

Я-то как раз апеллирую к своему доказательству как к подтверждению того факта, принятого в дихотомической философии, что пространство имеет структуру кубической решётки. Вернее, я раньше так думал, пока не написал книгу "да-не-Я". В процессе рассуждений оказалось, что пространство двухмерно, и, стало быть, оно имеет не кубическую структуру, а структуру шахматной доски, а это значит, что у каждой точки не восемь степеней свободы, как это было в предыдущей книге "Дихотомическая структура пространства-времени", а только четыре. Прямая связь с исчислением битов, между прочим.

Аватар пользователя vlopuhin

Пенсионер, 13 Июль, 2020 - 11:08, ссылка

Vadim Sakovich, 13 Июль, 2020 - 10:50, ссылка

И всё же пространство тут ни при чём.

Вы какое пространство имеете в виду - пространство Ньютона или Эйнштейна?

Прошу прощения за вмешательство, а Вы какое пространство имеете в виду, булево, или натуральных чисел?

Если позволите, повторю свою идею. У Вас с дихотомией проблемы, Вы ставите точки и ищите нечто между ними, грубо говоря, делите отрезки. Дихотомия это система {число->точка}, число находится в пространстве смыслов, точка в образном пространстве. Эти пространства не пересекаются, то есть теорема Ферма доказывается на числах, а не "на пальцах". Иначе говоря существует два варианта доказательства. Первый это тупой перебор чисел до бесконечности, так поступают отважные америкосы, они для этого строят суперпуперквантовый компьютер. Второй это поиск абстракций следующего уровня над числами/смыслами, скорее всего здесь потребуется некое "нелинейное мышление".

Аватар пользователя Фристайл

Возникает стойкое ощущение, что эта тема не чисто математическая, есть в ней что-то глубоко философское.

Несомненно!

Глубоко философское практически без исключений соответствует бреду сивой кобылы. Вам никак не понять, что виртуальное пространство в математике имеет общее с физическим пространством только в названии.

Я по диагонали прочёл ваше портфолио, и понял, что вас добрыми советами бросить графоманство, особенно в тех сферах, где у вас не хватает знаний, никому еще не удавалось.

Но ваша тема вместе с тем и поучительна. В ней, как в капле грязной воды отражается интеллектуальная несостоятельность людишек, возомнивших себя любителями мудрости, и строчащими всякий бред.

Аватар пользователя Пенсионер

Фристайл, 13 Июль, 2020 - 23:37, ссылка

...интеллектуальная несостоятельность людишек, возомнивших себя любителями мудрости, и строчащими всякий бред.

Мне, право, неловко, что я заставил вас — против собственной воли, заметьте! — строчить всякий бред, но вы могли бы здорово сэкономить и своё время и время невинных читателей, если бы сократили свой высокохудожественный текст до указания на тот единственный признак, который есть у физического пространства, но нет у пространства математического.

Только и всего! Всем бы сразу стало ясно, с каким великим интеллектуалом они имеют дело. А то ведь так сразу и не поймёшь. Приходится об этом чуть ли не орать во всю глотку: "У всех остальных только бред сивой кобылы, а вот у меня! А вот я! Я и не такое могу!" Ну и так далее, как у попугая Кеши из мультика. Или как у кота Матросскина: "Я ещё и крестиком вышивать умею..."

Аватар пользователя Vladimirphizik

Вы так и не поняли причину, почему пространства здесь не при делах.

Допустим, у нас есть два кубика. Один кубик - 5 в третьей степени, а второй - 2 в третьей степени. Мы можем первый кубик разложить на слои и создать плоскость из 125 единичных кубиков. Теперь берем кубик  2 в кубе и на одну его грань (2х2) приклеиваем 3х3 единичных кубиков, разворачиваем конструкцию на 90 градусов и приклеиваем 2х3 кубика, а затем сверху приклеиваем 2х2 кубика. Получили кубик 3 в третьей степени. Сколько израсходовали единичных кубиков из разверстки первого кубика? Это легко посчитать: 9+6+4=19. Сколько осталось единичных кубиков? Это тоже легко посчитать 125-19=106. Начинаем опять наклеивать единичные кубики на кубик 3 в кубе. Теперь кубиков будет уходить больше. На первую грань уйдет 4х4, на вторую 3х4, а на третью 3х3. Всего 16+12+9=37. Остаток 106-37=69. Продолжаем клеить. Считаем: (5х5)+(4х5)+(4х4)=25+20+16=61. Остаток 69-61=8. Все: на новый кубик не хватит. Но мы могли это же сделать по-другому, если бы все сделали наоборот и наклеивали бы второй кубик на первый. Мы бы сразу увидели, что 2 в третьей степени - это всего 8, и этих восьми единичных кубиков не хватит на то, чтобы из кубика 5 в третьей степени сделать кубик 6 в третьей степени, поскольку для этого нужно (6х6)+(5х6)+(5х5)=36+30+25=91 единичный кубик. Из-за таких условий появляются вариации работы с единичными кубиками, которые к пространству не имеют никакого отношения. Просто в уравнениях с четвертой степенью, пятой и т.д.  увеличивается количество вариантов обмотки сторон этих многомерных кубиков. И ВСЕ.

Надеюсь, теперь вы поняли раз и навсегда смысл теоремы Ферма.

Аватар пользователя Пенсионер

Vladimirphizik, 14 Июль, 2020 - 10:56, ссылка

Вы так и не поняли причину, почему пространства здесь не при делах.

Ну хорошо, пространство здесь не при делах.

Что для этого надо изменить в доказательстве? И как изменится вывод?

 

Аватар пользователя Vladimirphizik

Из моего предыдущего комментария извлеките все формулы превращения кубиков в кубики бОльших чисел, составьте формулы в общем виде и попробуйте доказать, что на всей бесконечной оси существуют хотя бы два целых числа, суммы кубов которых есть куб некоего третьего целого числа. Говорят, кто-то это уже доказал на тонне бумаги. У меня нет особого желания эту тонну проверять. Подожду короткого резюме.  

Аватар пользователя Пенсионер

Vladimirphizik, 14 Июль, 2020 - 12:27, ссылка

Из моего предыдущего комментария извлеките все формулы превращения кубиков в кубики......................

Зачем? Если в моём доказательстве есть ошибка, просто укажите на неё И ВСЁ.

С какой целью вы заставляете делать всё по ВАШЕЙ схеме?

Пространство "здесь не при делах", а ваши придумки "при делах"?

Аватар пользователя Vadim Sakovich

Пенсионер: сли в моём доказательстве есть ошибка, просто укажите на неё И ВСЁ. С какой целью вы заставляете делать всё по ВАШЕЙ схеме?

На 100% правильное возражение.