Здесь остановимся немного на предрассудке, что философию можно постигнуть обывательским мышлением, не изучая ее истории. Этот предрассудок сродни тому, что ископаемые формы жизни и эволюцию этих форм можно постигнуть интуитивно, без знакомства с данными палеонтологии. В результате мы находим крайне древние воззрения в форме современного наукообразия, выдаваемые за последний философский писк. Воззрения, с которыми философия давно покончила.

Можно заниматься применением дробных производных к квантовой механике, а можно всю жизнь решать вопрос: сколько будет 2х2? Хотя уже в древности объект 2х2 был обозначен символом 4. Подобными псевдовопросами полна нынешняя "философия". Мы забываем, что философия, не применимая к общественной практике - ничто.

Цели и задачи «Феноменологии духа». Часть 2

Рассмотренный с точки зрения индивидуума, весь этот процесс, изложенный в «Феноменологии духа», выступает как «пропедевти­ческий», как процесс его развития от точки зрения «обыден­ного сознания» до науки и введения индивида в суть науки. Согласно Гегелю, совокупная культура человечества («духовная субстанция») составляет «сущность» каждого индивида. Однако, не будучи осознанной им (пока он не достиг еще философской точки зрения) в качестве его собственной природы, его собственной «сущности», эта культура является ему «внешне», как нечто чуждое, отличное от него, «неорганическое» Она выступает по отношению к нему как совокупность «общепри­нятых» представлений, с которыми он вынужден сообразовать свою деятельность.

Эти представления индивидуум, как и вся его эпоха, наследует от прошлого. Они наличествуют в его голове как нечто совершенно естественное, само собой разумеющееся, «известное», к чему он, как правило, не возвращается, а просто кладет в основание даль­нейших рассуждений. Дело в том, что споры по поводу общепри­нятых представлений отгремели столетиями назад, «мировой дух» с ними «справился» и, следовательно, не питает к ним интереса. Но если с таким грузом «естественных представлений» человек попытается осуществить восхождение к точке зрения науки, то он, разумеется, окажется неспособным осуществить это предприя­тие. Подобный вояж нельзя предпринимать в «домашнем хала­те» привычных представлений.

Задача состоит, следовательно, в том, чтобы заставить индиви­дуума усомниться в «незыблемости» этих «установившихся» пред­ставлений, заразить его декартовским скептицизмом по отношению к ним. Необ­ходимо на его глазах осуществить «анализирование», «разложе­ние» представлений, которыми обременено «естественное созна­ние» людей, и — более того — вовлечь его самого в процесс этого «разложения». Однако, как только осуществлены этот процесс и сведение представления «к мыслям, которые сами суть известные, устойчивые и неподвижные определения», возникает диаметраль­но противоположная задача: «Путем снятия установившихся оп­ределенных мыслей претворить всеобщее в действительность и в дух». Здесь «рассудок» неизбежно становится препятствием на пути дальнейшего шествия к истине, и оно преодолевается только тем, что «рассудок» вовлекается в противоречия, которые выну­ждают его выступать против себя самого. Тем самым выясняется, что «абсолютной мощью» рассудка управляют иные законы — за­коны разума. И сам рассудок становится разумом.

По существу, это гегелевское рассуждение заключает в себе мысль о том, что духовная культура в ее подлинном содержании противостоит индивидуальному сознанию как особый предмет критического усвоения. В этом отношении она ничем не отли­чается от любого другого предмета, хотя и является особым — «идеальным» — предметом. В ходе разложения этого «предмета» осмысляется история его возникновения, становления и развития. Каждое представление или понятие, выступающее в голове инди­видуума, исследуется с точки зрения его возникновения в преде­лах исторически определенного «формообразования сознания». При этом оказывается, что любым представлениям и понятиям «смысл» придали определенные исторические условия, условия процесса познания в соответствующую эпоху. Стоит только этим условиям измениться, как представления и понятия, порожденные этими условиями, сформированные ими, вступают в вопиющее противоречие с собой.

Таким образом, «феноменологическое» движение предстает у Гегеля как «спроецированный» на всю человеческую историю про­цесс познания, в котором представления превращаются в рассу­дочные понятия, а эти — в диалектически развивающиеся понятия. Конечным результатом всего этого движения является возникновение «абсолютного понятия», в котором, как в своем «высшем синтезе», «снято» все объективное и все субъективное. Пользуясь этим приемом, Гегель пытается «выразить», «изобра­зить» всю человеческую историю в терминах познавательного про­цесса, взятого в том виде, как он протекает в голове каждого ин­дивидуума. И когда вся совокупность «обыденных» человеческих представлений и «закоснелых» рассудочных понятий, игравших сколько-нибудь серьезную роль в истории, полностью переплав­ляется в диалектические «самодвижущиеся» понятия, «дух», объективное мышление,  ощущает себя, наконец, в своей собственной сти­хии. В этой «чистой стихии», где «сущность духа» ничем не отли­чается от его явления, форма его — от его содержания, истина его — от его «достоверности самого себя», «дух» приступает к со­оружению своего собственного царства: создает Логику, выведен­ную из «чистого понятия».

Можно, наверное, немного расслабиться и подытожить сказанное к современной действительности.

Есть домыслы – и есть факты.

Есть факт перехода от незнания к знанию. От незнания формальной логики до ее формулировки, знания и использования в проектировании электронных схем. Есть домыслы о формальной логике. Например, якобы можно построить политическую экономию на ее базе, как и электронную схему. Этот домысел основан на незнании фактов, открытых Кантом.

Есть факт перехода от незнания диалектической природы мира, в котором мы живем, к знанию этой природы. Есть домысел, что человечество этого познать не в силах. В отличие от формальной логики, сегодня в либерализованном обществе масса сил, которым выгодно поддерживать этот идеологический домысел. В том числе и в среде людей, считающих себя коммунистами, выгодно в целях уклонения от освоения марксистской платформы (проще говоря – из лени) озвучивать идеологию антимарксиста Поппера.

Возьмем, к примеру, тензорный анализ. Его развитие и применение осуществляют узкие специалисты. Кухарка может знать, что тензор упругости используется для расчета строительных конструкций, а тензор энергии-импульса – в электродинамике. Однако, если она заявит, что ее знание исчерпывает все содержание тензорного анализа, а всякие свертки, тензорные произведения, ковариантности и контрвариантности – АБРАКАДАБРА, то такая кухарка должна быть резко осуждена за невежество и реакционность.

Марксисты сегодня твердо встали на позиции подобной “кухарки” по отношению к марксистской диалектике. Они заявляют, что тензор “единства и борьбы”, тензор “количества и качества” и т.д. используется в практике социальной инженерии при строительстве коммунистического общественного строя. И это – все ее содержание. Система же диалектики, основанная на ее методе мышления в бесконечных понятиях – АБРАКАДАБРА.

Далее. Говорят, что коммунистов в СССР объединяла идея коммунизма. Нужно уточнить: идея, созданная специалистами по диалектике, или мечта кухарок от диалектики? Специалистов от диалектики в СССР не было. Поэтому в СССР не удалось построить даже социализма. Мы так и не вышли из капитализма. Просто привели стихийно в 90-е форму общественного строя в соответствие с его политэкономическим, антикоммунистическим содержанием. Инженеров от диалектики, какими были Ленин или Сталин, в стране не нашлось. Зато возомнивших себя такими инженерами кухарок оказалось не менее 20 миллионов.

МИБ, 2 Май, 2016 - 18:29

Здесь я хочу попытаться заинтересовать сообщество ФШ философией.

...заинтересовать... философией.

Вне борьбы за жизнь, вне стремления к все большему утверждению жизни может быть только  мертвечина. И философия Гегеля являет пример такой мертвечины. Являет уже в своем исходном пункте. Процитирую то, что я имею в виду:

4. Тождество бытия и мышления – исходный пункт философии Гегеля

...............................................................................................................................

Мышление, утверждает Гегель, «отчуждает» свое бытие в виде материи, природы, которая есть «инобытие» этого объективно существующего мышления, именуемого Гегелем абсолютной идеей. С этой точки зрения разум не специфическая особенность человека, а первооснова мира, из чего следует, что мир в основе своей логичен, существует и развивается по законам, внутренне присущим мышлению, разуму. Таким образом, мышление и разум рассматриваются Гегелем как независимая от человека и человечества абсолютная сущность природы, человек, всемирной истории. Гегель стремится доказать, что мышление, как субстанциональная сущность, находится не вне мира, а в нем самом, как его внутреннее содержание, проявляющееся во всем многообразии явлений действительности.

Стремясь последовательно провести принцип тождества мышления и бытия, Гегель рассматривает мышление (абсолютную идею) не как неподвижную, неизменную первосущность, а как непрерывно развивающийся процесс познания, восходящий от одной ступени к другой, более высокой. В силу этого абсолютная идея не только начало, но и развивающееся содержание всего мирового процесса. В этом смысл известного положения Гегеля о том, что абсолютное должно быть понято не только как предпосылка всего существующего, но и как его результат, т.е. высшая ступень его развития. Эту высшую ступень развития «абсолютной идеи» составляет «абсолютный дух» - человечество, человеческая история.

...............................................................................................................................

Итак, исходный пункт гегелевской философской системы - идеалистическое отождествление мышления и бытия, сведение всех процессов к процессу мышления. Действительная история сводится к истории познания, а рост и углубление знаний о мире рассматриваются как развитие самой действительности. Гегель обожествляет процесс познания, осуществляемый человечеством, выдавая его за божественное самопознание, а также за познание человечеством Бога и тем самым самого себя.

http://library.by/shpargalka/belarus/philisophy/001/phi-002.htm

И вот, "абсолютный дух" Гегеля - мышление по-Гегелю, которое «отчуждает» свое бытие в виде материи", никакой связи с борьбой за жизнь, со стремлением к все большему утверждению жизни иметь не может в принципе. А потому никакого "познания человечеством Бога" выражать  не может. Ибо Бог нерасторжим с жизнью человека.  А коль не может, то является штучкой безжизненной, является мертвечиной.

Выше мы видели, каково современное самоосознание наукой самой себя. Это самосознание возникло на почве кризиса оснований математики и, как следствие, кризиса всего научного способа познания. Мы видели, что чистой наукой в наше время является построение моделей в контекстно-свободных языках на базе формальных грамматик.

Однако, во времена Гегеля-Маркса такого ясного понимания существа и природы научного познания еще не существовало. Наукой считалось всякое познание, отличное от непосредственного религиозного знания или от вообще незнания, опирающегося в своей деятельности на традиции, суеверия и опыт.

Во времена Гегеля математика еще не была осознана как средоточие научного метода. Гегель, в соответствии с этим, не придает ей особенного, по сравнению с другими научными методами, значения.  В силу чего его критика научного метода сегодня выглядит несколько архаично и поверхностно.

Гегель продолжает:

“Я полагаю все же, что хотя в этом очерке 1) пришлось ограничить ту сторону изложения, благодаря которой содержание становится ближе представлению и эмпирической осведомленности, однако 2) что касается переходов, которые могут быть только опосредствованием, обусловленным понятием, то я выявил их достаточно определенно, чтобы 3) показать отличие метода, применяемого в этом очерке, от лишь внешнего порядка, которым пользуются другие науки, а также 4) от известной манеры, ставшей обычной в философских рассуждениях; эта последняя исходит из некоторой наперед принятой схемы и с ее помощью располагает материал рассмотрения в параллельные ряды таким же внешним образом и еще более произвольно, чем первый способ, и по чрезвычайно странному недоразумению хочет заменить необходимое развитие понятия случайными и произвольными связями. (стр.53-54)”.

Здесь о методе изложения философии.

1).  Гегель ограничивает число примеров, иллюстрирующих его мысли; иллюстрация не есть доказательство. Как иллюстрации Энгельса в “Диалектике природы” не есть философия.

Однако, во втором издании Гегель отказывается от чрезмерно сухого изложения:

…я старался смягчить и сжать формальную сторону изложения; я стремился также посредством более обширных экзотерических примечаний приблизить абстрактные понятия к обычному пониманию и более конкретным представлениям о них.

Автор снова возвращается к практике Прибавлений и Примечаний. Что, конечно, очень правильно. Философский “бурбакизм” есть вообще тарабарщина (см. того же Гегеля в его “Пропедевтике”). Даже в математике неоправданная формализация вызывает отторжение. Что же говорить о философии?

2) Переходы от категории к категории должны быть явно опосредованы (выведены) через понятие, настаивает Гегель. Т.е., иметь явную логическую форму. Причем, не в форме аристотелевской логики понятий, а в логике категорий, как определеннее станет ясно в дальнейшем.Этим отличается его метод от метода изложения в других науках. Что характерно для метода изложения других наук, по Гегелю?

3) Науки (например анатомия, как пишет Гегель в другом месте) довольствуется внешними мотивами при изложении материала, располагая его не в его внутренней необходимости, а сообразно удобству восприятия. Гегель отмежевывается от подобного метода изложения философии. Философия необходимо есть развертывание своего содержания в силу собственной, внутренней необходимости этого содержания. Изложение философии должно быть объективным, не зависящим от автора, от его субъективных пристрастий и представлений, процессом.

4) Однако, кроме субъективного метода изложения науки существует и некоторый ее формальный антипод – формальный схематизм. Гегель критикует и эту “известную манеру изложения философии”, заключающуюся в схематизме. Изобретается схема (позитивизм, экзистенциализм, герменевтика, неомарксизм и т.д.), под которую подгоняются “философские обоснования” этой схемы. Философия излагается не из реальности мышления, как формы материи, а из реальности выработанной, оторванной  от материи, идеальной схемы. Философский схематизм есть  разновидность идеализма, как вытекает из точки зрения Гегеля.

Смысл в том, что философия не может исходить из схем и принципов (диалектических, материалистических, идеалистических или еще каких), не обосновав их. Философия обязана обосновать себя самой собой посредством понятия. То, что образуется в результате, может стать предпосылкой, аксиоматикой науки. Но в философии аксиоматический (научный) метод изложения не применим.

Это - вывод и последнее слово философии. На этом развитие философии временно приостановилось.

Гегель: Нищета непосредственного знания.

Сначала напомню пару определений.

Непосредственность – отсутствие посредников, промежуточных этапов или промежуточного участия кого-либо или чего-либо.

Опосредствованный – данный не непосредственно, не напрямую, а через посредство чего-либо другого.

История философии есть история открытия мыслей об абсолютном, составляющем ее предмет. (стр. 64)

- пишет Гегель. Итак, предмет философии, по Гегелю – абсолютное. Этим предмет философии отличается от предмета науки: предмет науки – нечто относительное, преходящее, конечное. Предмет же философии (Маркс еще использует слово “наука” в гегелевском смысле в связи с философией) – абсолютное, вечное, бесконечное. Предмет философии, в отличие от многих предметов науки, не может быть предметом чувственного восприятия. Вечное, бесконечное, абсолютное есть продукты мышления, выработанные в процессе обобщения эмпирических данных, есть категории, имеющие место и смысл только в мышлении. Поэтому собственно философское теоретическое познание возможно только в сфере мышления. Мышление дает философии эмпирический материал своего функционирования, способов конструирования своих моделей познания, историю развития технологий познания. Поэтому Гегель пишет:

Опирающееся на развитую культуру мысли познание отношений мысли есть первое условие правильного понимания философского факта. (стр. 65)

Таким образом, основой философского метода является именно логическая связь мыслей, поскольку абсолютное недоступно ни чувству, ни представлению. Гегель замечает, что даже жанр “Энциклопедии” не освобождает изложение от логики:

Название «Энциклопедия» по первоначальному своему смыслу допускает, по-видимому, меньшую строгость научного метода и внешнего расположения материала, но характер трактуемого предмета требует, чтобы основой изложения оставалась логическая связь. (стр. 55)

“Логическая связь” – центр высказывания. Как нет математики вне логики конечных понятий, так нет и философии вне логики бесконечных понятий.

Важный отрицательный вывод, к которому пришла рассудочная ступень всеобщего научного развития, что на пути конечного понятия невозможно опосредствование с истиной, приводит обыкновенно к последствию, противоположному тому, которое в нем непосредственно содержится. (стр.58)

Это очень важная ссылка на результат философских исследований, обобщенных и полученных Кантом. Абсолютное не только недоступно для исследования чувству или представлению, но и конечному (научному) понятию. Мышление, пытающееся мыслить абсолютное, как относительное, сразу подменяет свой объект исследования и мыслит его неадекватным, конечно-противоречивым образом. Вместо рассмотрения абсолютного бесконечного противоречия в свойственной ему логике бесконечного понятия, научное, в современном  смысле, мышление пытается осознать его в аристотелевской логике относительных, конечных понятий. Этот момент обескураживает мышление, не подозревающее о качественной противоположности абсолютного и относительного, и приводит к последствию, “противоположному тому, которое в нем непосредственно содержится”.

Вместо того чтобы привести к удалению конечных отношений из области познания, это убеждение имело своим последствием исчезновение интереса к исследованию категорий, отсутствие внимательности, осторожности при их применении. Как бы в состоянии отчаяния их стали применять тем откровеннее, бессознательнее и некритичнее. (стр.58)

Философия стала мыслить что попало и как попало. Причина, как видим, в растерянности философского мышления, в попытках искать выход из ситуации “под фонарем”, в сфере уже известных форм познания. Выйти за пределы этих форм не удавалось в силу того, что было непонятно: куда идти и как идти? Нужно было ясное понимание предмета философии, как мышления о мышлении. И нужна была внятная теория эволюции объективного мышления, основанная на практике развития философии, на фактах ее истории, чтобы ситуация обрела какие-то разумные очертания, как-то прояснилась.

Из основанной на недоразумении посылки, будто недостаточность конечных категорий для познания истины приводит к невозможности объективного познания, выводится заключение, что мы вправе судить и рядить, исходя из чувства и субъективного мнения; доказательства заменяются заверениями и сообщениями о том, какие факты встречаются в сознании, признаваемом тем более чистым, чем оно менее критично. (стр.58)

Вскоре ситуация повторится в физике. Исчез предел, до которого мы знали материю. А физики объявили об исчезновении материи вообще. Философия же всегда опережает науку, но в своей, малопонятной науке форме. Исчез предел, до которого познание знало самого себя. Философы же объявили об исчезновении познания вообще. Познание, как опосредование мыслью абсолютного, объявлено недостижимым. Опосредование, как момент познания, было отброшено. Способ познания абсолютного стали искать в сфере дополнительного  опосредованию моменте – в моменте непосредственного знания.

На такой скудной категории, как непосредственность, и без дальнейшего ее исследования, согласно этому взгляду, должны быть утверждены возвышеннейшие потребности духа, и эта скудная категория должна творить над ними свой суд. При этом, в особенности когда рассматриваются религиозные вопросы, часто можно встретить, что философствование совершенно устраняется, как будто этим изгоняется всякое зло и достигается обеспечение от заблуждения и иллюзии. (стр.58)

Таким образом, философия оказалась вынужденной признать свою неспособность опосредования абсолютного в форме понятия. Лишь непосредственное религиозное чувство дает познание истинного абсолютного. Философия же человеческая оказалась совершенно излишня, как и полагал апостол Павел.

Тогда предпринимают исследование истины исходя из неизвестно откуда заимствованных предпосылок и при помощи рассуждательства, т. е. применяют обычные определения мышления о сущности и явлении, основании и следствии, причине и действии и т. д. и делают выводы, руководствуясь этими и другими отношениями сферы конечности. (стр.58)

Непосредственное религиозное (или интуитивное, или ясновидящее, или посредством связи с инопланетным разумом или с самим Абсолютным Вселенским Разумом – примеров сегодня таких философствований не счесть!) познание, лишенное системности (опосредования в системе) обречено на разброд и шатание. Вслед ха бесформенностью изложения учения следует и бесформенность его содержания.

«От злого избавились, но зло осталось», и зло в девять раз хуже прежнего, так как ему вверяются без всякого подозрения и критики. И разве то зло, которое стараются устранить, разве философия есть что-либо иное, чем исследование истины, но исследование, сознающее природу и ценность отношений мышления, связывающих и определяющих всякое содержание? (стр.58)

Итак, отказ от философского опосредования в пользу непосредственного знания нанес только вред как религии, так и философии. Некритичность рассудка по отношению к самому себе завела познание абсолютного в непроходимый тупик.

В чем же самая психологическая проблема такого непонимания сути философского отношения к мышлению, его формам, его эволюции? Почему отношение обыденного сознания к философии подобно отношению Мартышки к Очкам из известной басни? Гегель так описывает свои наблюдения:

..некритический рассудок обнаруживает также свою недостаточность даже в простом схватывании определенно высказанной идеи; он так мало сомневается в содержащихся в нем самом предпосылках, что оказывается неспособным даже просто повторить за наукой голый факт философской идеи. Этот рассудок странным образом совмещает в себе две несовместимые черты: его поражает в идее полное несовпадение и даже явное противоречие с его собственным способом употребления категорий, и в то же время он не подозревает, что существует и применяется другой способ мысли, нежели тот, который свойствен ему, и что поэтому он должен здесь мыслить иначе, чем привык. (стр.59).

Итак, основная причина – привычка жить и мыслить внутри собственной ограниченной (мартышкиной) субъективности, неспособность выйти за пределы своей “пещеры”. Отсутствие подозрения даже, что знание может и должно быть объективным, независящим от пещеры индивидуума (может быть очками при надлежащем его применении). Именно эта неспособность подняться над собственным индивидуальным рассудком порождает непонимание суждений об абсолютном.

Более определенно, дело заключается, как верно заметил Энгельс, в том, что мышлению об абсолютном необходимо учиться. Даже научное мышление присутствует в зачатке уже у животных. Но философское мышление стихийно не возникает (как стихийно не возникает у обезьяны умение пользоваться очками). Как стихийно в природе не возникает телевизор или космический корабль. Человек должен откуда-то узнать об иной форме мышления. Кто-то должен разъяснить, как эта форма мышления образуется в сознании, какие ошибки совершает рассудочное сознание при первом соприкосновении с этой, диалектической формой абсолютного. Короче, здесь, как и в любом сложном коллективном деле, необходима инфраструктура.

По существу, дело выглядит так. В результате исследования траектории эволюции мышления, Гегелем на “кончике пера” была предсказана новая форма мышления – логическое мышление в бесконечных понятиях. Сам Гегель не осознал до конца, с чем он столкнулся в  своем исследовании. Он остался при мнении, что он только лишь нашел некоторое расширение научного способа мышления, позволяющее ввести в орбиту науки абсолютные сущности, т.е. диалектические объекты. Он не осознал, что открытая им форма мышления одинаково далека как от религии, так и от науки. И хотя она содержит в себе обе эти формы, но является не их смесью, а живым организмом, в котором эти формы являются только перетекающими друг в друга моментами.

Гегель ставит своей целью придать содержанию диалектических объектов форму понятия. И на модели такого объекта, как мышление, достаточно удовлетворительно справляется с задачей. Однако, что касается содержательной стороны самой формы, собственно логики, то эта сторона остается у него проработанной крайне слабо, несмотря на то, что основной его труд назван “Наука логики”.

Во всяком случае, сегодня мы должны принять объяснение Гегелем неспособности рассудка к философскому мышлению, как данность. Абсолютное мышление об абсолютном сегодня не развито, неизвестно, и пока надеяться на его развитие и выход в качестве экзотерического знания – преждевременно.

Франц фон Баадер

“Не могу удержаться, – пишет Гегель, – от того, чтобы не привести здесь в извлечении поучительное слово г-на Франца фон Баадера о такой форме благочестия из предисловия к 5-му выпуску «Fermenta Cognitionis», стр. IX и следующая”.

[Мы видели, что Гегель ратует за "просвещенную религиозность Духа", осуждая невежественную, лишенную всякой мысли, веру. Он не одинок. Вот эта цитата из Баадера:]

«До тех пор, — говорит он, — пока наука не возвратит снова религии уважения, основанного на свободном исследовании и, следовательно, подлинном убеждении, вы, благочестивые и неблагочестивые, со всеми вашими заповедями и запретами, со всеми вашими разговорами и действиями, не поможете беде, и не пользующаяся уважением религия не будет пользоваться также и любовью. Ибо любить настоящим образом, от души, мы можем только то, что пользуется искренним уважением и что мы признаем, несомненно, достойным такого уважения; только такого рода amor generosus может служить на пользу и религии. Другими словами: если хотите, чтобы снова расцвела религиозная практика, то позаботьтесь о том, чтобы мы снова получили разумную теорию этой практики, и не очищайте поля битвы вашим противникам (атеистам) неразумным и богохульным утверждением, что нечего и думать о такой теории религии, ибо она невозможна, утверждением, что религия есть дело сердца, в котором мы имеем право и даже должны отказаться от услуг головы» (стр. 67).

[Однако... Есть интересный нюанс - различие между требованием науки в приложении к религии со стороны фон Баадера и Гегеля. Баадер упрекает "некоторую философему" в... материализме! Гегель сопровождает этот, адресованный ему упрек, широким комментарием.]

Там он [Баадер] говорит, что некая философема, «ведущая свое происхождение от натурфилософской школы, выставляет ложное понятие материи, утверждая о преходящей и носящей в самой себе разложение сущности сего мира, что она непосредственно произошла и вечно исходит от бога, что она как вечное исхождение (овнешнение) бога обусловливает его вечное возвращение к себе (как духу)». (стр. 70)

Далее Гегель разъясняет свою позицию: “Что касается первой части этого представления — происхождения…  материи из бога, то я не вижу здесь ничего иного, кроме того, что это положение содержатся в определении, что бог есть творец мира [причина Большого Взрыва, сказали бы сегодня некоторые]; что же касается второй части этого представления — утверждения, что вечное исхождение обусловливает возвращение бога к себе как к духу, то я должен сказать, что г-н фон Баадер выдвигает здесь «обусловливание» — категорию, которая и сама по себе неподходяща и которую я тоже никогда не употребляю для обозначения данного отношения; напомню о том, что я сказал выше относительно некритического смешения определений мысли. Обсуждение же вопроса о непосредственном или опосредствованном происхождении материи привело бы лишь к совершенно формальным определениям”. (стр. 70)

[Возражение второй части можно сформулировать и так: во-первых, исхождение материи из Бога совсем не означает, что посредством этого исхождения Бог становится в некоторое отношение с собой, как с субъектом, т.е. здесь нет логической почвы для использования категории "обусловленность"; во-вторых, спор о том, что первично, а что вторично - материя или сознание  - это спор о словах (!), схоластический спор об определениях.]

Гегель продолжает: “В том, что г-н фон Баадер сам говорит (стр. 54 и сл.) о понятии материи, я не вижу различия с моими определениями последней. И точно так же я не понимаю, чем помогает разрешению абсолютной задачи — постигнуть сотворение мира как понятие— указание г-на фон Баадера (стр. 58), что материя «не есть непосредственный продукт единства, но есть продукт того из его принципов (уполномоченных, элохимов), которые оно [единство] вызвало для этой цели». Означает ли это (ибо по грамматическому расположению оно не вполне ясно), что материя есть продукт принципов, или оно означает, что материя вызвала эти элохимы и дала им производить ее, во всяком случае эти элохимы или весь круг элохимов должны быть поставлены в отношение к богу, которое не уясняется тем, что вставляются промежуточные элохимы”. (стр. 70)

[Иначе говоря, материя не уясняется через элохимов. Можно сказать, что материя не нуждается в гипотезе об элохимах.

Далее Гегель вновь обращает внимание на различие истины от ее образов.]

“Мы имеем, можно сказать, достаточно и даже с избытком более или менее чистых или затуманенных образов истины — в религиях и мифологиях, в гностических и мистицирующих философиях древнего и нового времени. Можно находить удовольствие в том, чтобы открывать идею в этих образах, и находить удовлетворение в почерпнутом из такого рода открытий убеждении, что философская истина не есть нечто совершенно изолированное, что ее действие проявлялось в этих образах по крайней мере как брожение”. (стр. 71)

[Открытие философской истины (идеи) в изображениях истины, данных в наличном бытии, лишь доказывает, что философская истина не есть что-то "левое" для реальности, а наоборот, осуществляется в реальности как некое брожение, некий реализующийся или уже реализовавший себя материальный процесс.]

“Но когда незрелый и самонадеянный ум начинает заниматься подогреванием таких продуктов брожения, как это, например, делал один из подражателей г-на фон Баадера, то он по своей лености и неспособности к научному мышлению легко возводит подобный гнозис в исключительный способ познания, ибо легче отдаваться рассмотрению таких форм и исходя из них строить произвольные философемы, чем брать на себя развитие понятия и подчинять как свое мышление, так и свое чувство логической необходимости последнего”. (стр. 71)

[Опять тот же упрек в произволе выбора и последовательности образов истины вместо того, чтобы вывести логически тот или иной образ из самой абсолютной истины, т.е., найти необходимый логический путь от абстрактного к конкретному.]

“Самонадеянные умы, кроме того, легко впадают в искушение приписать себе как открытие то, что они узнали от других, и они тем более склонны верить в эти открытия тогда, когда они возражают против людей, сделавших эти открытия, или стараются их унизить; правильнее будет сказать, что самонадеянный ум потому и раздражен против этих людей, что у них он почерпнул свои взгляды”. (стр. 71)

[Без комментариев все ясно.]

“…мышление в сознании абсолютного своего права быть свободным упорно полагает, что оно примирится хотя бы и с превосходным содержанием лишь постольку, поскольку последнее сумеет сообщить себе форму, которая вместе с тем наиболее достойна и самого этого содержания, — форму понятия, необходимости, которая связывает всё и вся, связывает как содержание, так и мысли и именно этим делает их свободными”. (стр. 71-72)

[Органы в организме свободны, ибо они связаны. Вне организма, будучи "отвязными",  они не свободны и погибают.]

“Если должно обновить старое, т. е. некую старую форму, ибо содержание вечно юно, то та форма, которую придали идее Платон и с еще большей глубиной Аристотель, наиболее достойна того, чтобы мы вспомнили о ней; она достойна этого потому, что раскрытие нами этой формы путем усвоения ее и превращения в составную часть нашей культуры мысли не только непосредственно дает ее понимание, но есть также шаг вперед самой науки”. (стр. 72)

[Форма идей, которую они они получили у Платона и Аристотеля, достойна обновления. Идея - вечно юное содержание философии. И снова: о содержании этой формы мысль звучит как-то глухо.]

“Подобно тому как об истинном было справедливо сказано, что оно есть index sui et falsi [что-то вроде "указатель на ложь"], и, наоборот, исходя из ложного нельзя познать истину, так и мы должны сказать, что понятие есть понимание самого себя, а также и лишенного понятия образа, но этот последний исходя из своей внутренней истины не понимает понятия. Наука понимает чувство и веру, но о науке можно судить только исходя из понятия, на котором она основывается, и так как она есть саморазвитие последнего, то суждение о ней, исходящее из понятия, есть не столько суждение о ней, сколько движение вперед вместе с ней“. (стр. 72)

[Очень важное замечание. Позже мы увидим, что понятие есть не объект только (и образ какого-либо объекта), но и субъект (образ самого себя). Т.е., понятие есть, в наиболее общем контексте, становление. В более определенном контексте - становление истины посредством лжи и становлением лжи посредством истины. Истина и ложь - стороны одного процесса - процесса понимания понятием самого себя. И только в этом контексте самопонимания понятие есть истинный образ того, что оно обозначает. Соответственно, процесс самопонимания наукой самой себя есть, также, самодвижение, самоизменение, самостановление  науки.]

Гегель разбушевался

В 1817 году Гегель пишет предисловие к первому изданию “Энциклопедии философских наук”. В нем он предупреждает читателя, что философия – это нечто иное, нежели принято думать в обывательских салонах. Это издание расходится по рукам, но не по головам читающей публики. Гегель несколько обескуражен: в его работе ровно никто ровно ничего не понял! Критика бьет не только мимо его работы, но и вообще – мимо философии.

В 1827 году готовится второе издание. Гегель вносит в него существенные изменения, добавляет различные иллюстративные примеры, призванные облегчить понимание текста, указывает на типичные ошибки прочтения философских произведений и на причины этих ошибок, обстоятельно останавливается на вопросе соотношения философии и религии и т.д. Кажется, сделано все возможное для правильного восприятия его работы, его системы. Но – нет! Его работа вновь встречает прием “вкривь и вкось”. Никто ничего, – решительно ничего! – не понимает. Куча фанатов, Шопенгауэр нервно курит, Шеллинг испуганно прячется за мистику, споры до потолка, рейтинг Гегеля зашкаливает, и – абсолютно  никакого понимания метода исследования абсолютного!

Гегель раздосадован. Даже раздражен. В предисловии к третьему изданию, в 1830 году, он просто распекает своих поклонников и своих критиков, как директор гимназии своих школяров. Распекает, не жалея ни иронии, ни ядовитого сарказма.

Со времени выхода в свет второго издания появилось много отзывов о моих философских работах, которые большей частью обнаружили, что их авторы имеют мало призвания к этому делу. Такие легкомысленные возражения на произведения, которые продумывались в продолжение многих лет и были обработаны со всей серьезностью, приличествующей предмету и удовлетворяющей научным требованиям, являют собой отнюдь не утешительное зрелище дурных страстей: самонадеянности, заносчивости, зависти, оскорбительного неуважения и т. д., и уж нечего говорить, что в них нет ничего поучительного.

Кстати, о зависти. Злые языки говорят, что Гегель был отравлен своими соратниками в его профессорском “политбюро”. В пользу этого говорит диагноз “холера”. Сомнительно, говорят специалисты, чтобы южанка холера могла активизироваться в нордическом климате в ноябре месяце (холерный вибрион полностью прекращает развитие при +8 градусов Цельсия).

С Англией понятно – там пальмы растут. Но с Германией как-то не очень. Хотя – как знать? В Интернете данных на эту тему я не нашел. Возможно, на сайтах Германии можно узнать больше. Во всяком случае, я передаю непроверенные слухи о возможной причине смерти Гегеля “под шумок” холеры. Что-то вроде версии Пушкина о Моцарте и Сольери

Однако, вернемся к отповеди Гегеля своим критикам.

Нападки на философию тем популярнее, чем меньше в них обнаруживается разумения и основательности. Мелкая отвратительная страсть легко усваивается, потому что она встречает отзвук в других людях, и невежество также охотно готово ее понять.

Когда в голосовании за ценности Разума участвует невежество, то необходимо побеждает Путин.

Некоторые предметы воспринимаются органами чувств или даны представлению в цельном созерцании. Все чувствуют поэтому, что необходимо, хотя бы и в ничтожной степени, знать их, чтобы быть в состоянии иметь о них свое мнение. Они, кроме того, заставляют вспомнить о требованиях здравого рассудка, ибо даны как знакомые, ясно очерченные предметы.

Понятно. Если все называют нечто камнем, то не следует толкать первому встречному-поперечному камень под именем  “хлеб” (или под именем “ваучер”). Только насилие над здравым рассудком, над органами чувств может вынудить человека принять камень за хлеб, Конституцию под стволами танков и ваучеры в качестве панацеи от нищеты. Но, согласитесь, Конституция в восприятиях – это не то, что основано на танках. Это нечто гражданское, а не пиночетовское. Когда же народу говорят: либо вы проголосуете за новую, либерастную Конституцию – и помучаетесь еще лет 20-30, – либо мы намотаем ваши кишки на гусеницы уже сегодня, – никто не путает гусениц танков с гусеницами бабочек. О чем и напоминает Гегель: не зная ситуации, не понимая, с чем имеешь дело – насторожись, а не витийствуй.

Гегель выходит из себя:

Но отсутствие всего этого — как знаний, так и здравого смысла — не мешает бесстрашно нападать на философию или, вернее, на какой-то фантастический пустой образ воображения, который невежество создает  себе и убеждает себя в том, что это и есть философия; не имея перед собою ничего такого, что могло бы служить им руководящей нитью, невежды всецело впадают в неопределенные, пустые и, следовательно, бессмысленные рассуждения.

Зря он так. Народу не до науки.

Часто спрашивают: где же советский народ?

Советский народ занят. Он жует жвачку и смотрит порно под Майкла Джексона. Советский народ счастлив, что может позволить себе американские радости. Что же касается СССР, то советский народ знает из мультика: чтобы что-то купить – надо что-то продать. Подвернулся под руку СССР – вот его и толкнули буржуям за вкусную жвачку. И без жвачки советский народ не желает никакого СССРа. Жвачка – наша национальная идея, хрустальная мечта, сформулированная Хрущевым и осуществленная Горбачевым и Ельциным. Слава КПСС! Ради жвачки мы готовы перенести любые невзгоды и любые утраты, ради жвачки мы готовы пожертвовать своими жизнями и отдать за жвачку жизни своих детей (ну какая у них будет жизнь без жвачки, порно и Мадонны?! Пусть лучше умрут с голоду в младенчестве, нежели всю жизнь – без жвачки! Хватит! Натерпелись!)..

Короче, не троньте святыни советского народа! И не отвлекайте его пустяками. Он реализует свою национальную идею. Он жует…

А ему – про какую-то науку. Есть одна достойная внимания наука – наука о Жвачке. А где у Гегеля про Жвачку? Нигде. Так чего он возмущается критикой!?

Гегель освещает эту тему в своем ключе:

В другом месте я взял на себя неприятный и бесплодный труд осветить подобные сотканные из страстей и невежества явления и показать их во всей неприкрытой наготе. Недавно могло казаться, что на почве теологии и даже религиозности в широких кругах начнется более серьезное научное исследование вопросов о боге, божественных предметах и разуме. Но уже начало движения показало тщетность этих надежд, ибо поводом для движения служило личное, и ни притязания выступающего обвинителем благочестия, ни притязания подвергающегося нападению свободного разума не поднялись на высоту самой сути дела; еще менее они поднялись до сознания того, что для правильного выяснения дела нужно вступить на почву философии.

Далее Гегель пытается отвергнуть обвинения его философии в натурализме (материализме). Напомню Маркса: в диалектике стирается грань между натурализмом и идеализмом. Гегель отвечает на обвинения Матери-Церкви:

Продиктованные личными мотивами нападки на философию, опиравшиеся на очень специальные внешние стороны религии, выступали с чудовищным притязанием (на основании присвоенного ими полновластия) вершить суд над отдельными лицами, отказывая им в христианском образе мыслей и тем самым клеймя их печатью земной и вечной отверженности… Одной новейшей философской системе был брошен позорящий упрек, что в ней отдельный человеческий индивидуум мнит себя богом [речь о системе Фихте - МИБ]; но то, в чем упрекают эту философскую систему, — ложный вывод из ее учения — представляется совершенно невинным по сравнению с действительно дерзостным притязанием выступать как судия мира [как преподаватель диамата], отказывая отдельным лицам в христианском образе мыслей и утверждая тем самым их глубочайшую внутреннюю отверженность.

Т.е., приватизировать истину функционерам неприлично, считает Гегель. Он, кажется, даже не догадывается, что всякая доходная вещь нуждается в эффективном собственнике. Ну, что с него возьмешь? Идеалист! Даже классики заметили.

Паролем этого полновластия служит имя господа нашего Христа и заверение, что господь обитает в сердцах этих судей.

Дело, конечно, не в имени – имя СМИ сделают (или уничтожат) за день. Важно, чтобы имя было в сердце! Чтобы не было пустосердечных людей.

Гегель продолжает ругаться:

Те, которые уверяют, что лишь они одни обладают христианским образом мыслей, и требуют от других, чтобы они верили в это, пока еще не изгоняют бесов; наоборот, многие из них сами подобно верующим в преворстскую пророчицуu слишком гордятся тем, что находятся в хороших отношениях со сбродом призраков и благоговеют перед ним, вместо того чтобы изгонять эти лживые сказки противохристианского рабского суеверия. Столь же мало они оказываются способными изрекать мудрость, а совершать великие дела познания и науки, что, собственно, должно было быть их назначением и обязанностью, они уже совершенно не способны: начетничество еще не есть наука.

И далее:

…они довольствуются именем господа нашего Христа и намеренно с презрением отказываются от разработки учения, которое является фундаментом веры христианской церкви, ибо расширение духовного, мыслящего и научного содержания служило бы помехой самомнению, субъективной гордости бездуховного, бесплодного в добрых делах, богатого лишь плохими плодами заверения, что они одни обладают христианским образом мыслей; развитие учения не только служило бы помехой этому самомнению, но прямо запрещало бы и даже уничтожало его.

Всегда современно!

Наши ревнители наперекор Священному писанию тверды лишь в уверенности, идущей против духа, который есть развитие познания и единственная истина.

Эту поверхностность научного и вообще духовного содержания благочестие разделяет с тем воззрением, которое оно непосредственно делает предметом своего обвинения и осуждения. Рассудочное просвещение формальным, абстрактным, бессодержательным характером своего мышления опустошало религию, лишало ее всякого содержания точно так же, как благочестие, о котором мы говорим, опустошает религию, лишает ее всякого содержания, сводя веру к заклинанию: «Господи, господи!» В этом отношении ни одно из них не имеет превосходства над другим. А когда они начинают спорить друг с другом, у них не оказывается материала, содержания, дающего точки соприкосновения и общую почву, на которой можно было бы начать исследование, ведущее к познанию и истине.

Достается и теологии за ее невнимание к материальным условиям веры и за ее формализм познания, за субъективность методов в социологии вообще. Позже эту материалистическую критику субъективизма продолжит Маркс и,особенно, Плеханов. Но послушаем Гегеля:

Просветительская теология со своей стороны крепко держалась своего формализма, не хотела идти дальше апелляций к свободе совести, свободе мысли, свободе преподавания, к разуму и науке. Такая свобода, спору нет, представляет собой категорию бесконечного права духа и другое, особенное условие истины, присоединяющееся к первому условию, к вере. Но какие разумные определения и законы содержит в себе подлинная и свободная совесть, каково содержание свободной веры и свободного мышления, какое содержание является предметом их учения — этого материального пункта просветители не хотели касаться и застряли в формализме отрицания, в свободе заполнять свободу по произволу и мнению, так что само содержание оказалось чем-то вообще безразличным. Ближе подступиться к какому-либо содержанию было невозможно также потому, что христианское общение верующих все еще объединено и должно объединяться узами догмата, исповедания веры, общие же места и абстракции застойной, неживой, рационалистической, рассудочной водицы не допускают определенного в себе, разработанного христианского содержания и состава догматов.

Пора подвести итоги:

Таким образом, хотя и было поднято много пыли, хотя было проявлено много высокомерия, враждебности, сделано много личных выпадов, высказано много пустых мест, — все это, однако, было поражено бесплодием, во всем этом отсутствовало существо вопроса, все это не могло повести к содержанию и познанию. Философия могла быть довольной, что она не замешана в споре; она находится вне области этих притязаний, вне области как нападок на личности, так и абстрактных общих мест… (стр. 73-77)

Таким образом, общество, подчиненное рассудочному мышлению, ничего о философии не знает и ни в какой философии, кроме доморощенной, не нуждается. Однако, тем не менее, иной раз появляются такие чудаки, как Платон или Гегель. Что же движет ими наперекор всем мнениям и традициям?

Считается даже, и справедливо считается, что философия является помехой для новоявленного, узкого удовлетворения [рассудочного] интереса. Философия, таким образом, всецело предоставлена свободной потребности субъекта. Ничто не понуждает последнего заниматься ею. Потребность в философии там, где она имеется, должна, напротив, выдержать напор всякого рода заподазриваний и отсоветований. Она существует лишь как некая внутренняя необходимость, которая сильнее субъекта, которая не дает ему покоя и неустанно побуждает его дух двигаться дальше, «дабы он превозмог» и добыл устремлению разума достойное его удовлетворение.
Таким образом, не поощряемое никаким авторитетом, не поощряемое даже религиозным авторитетом, объявленное, напротив, чем-то излишним, опасным или по крайней мере сомнительной роскошью занятие этой наукой тем более свободно, чем более его источником является лишь интерес к предмету и истине. (стр. 78)

На этом завершим наш Фрагмент, а вместе с ним – и нашу первую часть в рассмотрении материала “Энциклопедии философских наук”.

В заключение замечу только, что если бы Гегель осознал глубже, что именно он открыл, он бы, думаю, был бы много снисходительнее к непонявшей его публике.

Кризис оснований математики. Обзор.

Этот материал мне «помогала» писать Ирина Николаевна Бурова (см. ее книгу «ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ДИАЛЕКТИКА»). Хотя диалектики в работе нет — автор разделяет мнение всей современной философии, что абсолютное актуальное бесконечное не существует, поскольку Поппер это «доказал», - однако есть много познавательных мыслей, добросовестно собранных и систематизированных автором. Поэтому я бессовестно воспользовался текстом, нахально внеся в него свои поправки, в данном случае касающиеся, в основном, «наивной теории множеств» Кантора (см. Кантор Г. Труды по теории множеств.)

Начнем. Известно, что математика в состоянии кризиса находится, грубо говоря, с начала XX в. Причиной кризиса является то, что математики не могли справиться с философскими и логическими проблемами, возникающими каждый раз в связи с открытием нового аспекта, нового содержания в понятии бесконечности. Природа бесконечности диалектична, и время от времени математики невольно обнаруживали это, однако они никак не могли осознать ее логико-философского значения. Вместо принятия содержательной диалектической логики математики всячески варьировали формальную логику. Хотя они и развивали ее, но выхода из кризиса не находили, поскольку не шли до конца в понимании диалектической глубины проблемы.

Современные французские математики Н. Бурбаки пишут: «Точка зрения математиков на вопросы философского порядка, даже если эти вопросы имеют существенное значение для их науки, в большинстве случаев основана на мнениях, полученных из вторых и третьих рук и из источников сомнительной ценности».

Во-первых, попытки устранить парадоксы теории множеств привели к развитию математической логики и появлению в нашем веке многочисленных логик с существенными отклонениями от традиционной логики. Это создает такое положепие, когда старые каноны, и в первую очередь принцип непротиворечивости, перестают казаться единственно возможными, какими они казались раньше.

Во-вторых, математический кризис, или, вернее, кризис философских вопросов в математике имеет столь явный характер, а попытки разрешить это кризисное положение столь явно несостоятельны, что очевидна необходимость каких-то особых, экстраординарных мер для разрешения создавшегося положения.

В-третьих, математики все чаще приходят к таким открытиям в своей науке, которые подтачивают абсолютизацию основных принципов старого мышления, старой логики .

Таким образом, метафизически абсолютизированный старый способ мышления в математике осаждается со всех сторон и находится в бедственном положении. Однако каноны старой логики закреплены в принципах аксиоматизации, которая распространилась в наше время не только как способ изложения готового материала, но прямо-таки как метод познания, как способ движения науки, и незаметное, стихийное изменение его невозможно. Попытка существенно реконструировать старую логику проявляется в формировании новых типов логик. Однако все эти новые логики предполагаются, во-первых, как варианты наряду с другими, а во-вторых, в них нет прямого, сознательного преодоления абсолютизации фундамента прежнего стиля мышления — принципа непротиворечивости. Но такое преодоление в определенных рамках необходимо для разрешения существующего ныне кризиса в математике, ибо он касается самого содержания мышления.

Введение диалектических принципов в математику само по себе является большой и сложной проблемой. Возникает ряд вопросов, связанных с этим. Как быть со старыми принципами логики, особенно с принципом непротиворечивости? Как отличить диалектические противоречия от внешних противоречий — ошибок? В какой степени введение принципов диалектической логики потребует перестройки всей математики? Как, в каком виде должно произойти это введение? Нужно и можно ли формализовать диалектическую логику? Все эти вопросы возникают, даже если бы математики в принципе уже были согласны с необходимостью изменить способ мышления и изложения в математике. Однако ни у философов, ни у математиков нет такого согласия, нет даже анализа допущения диалектического противоречия как принципа логики при определенных условиях.

Основные парадоксы теории множеств связаны с диалектикой актуальной бесконечности, соотношением актуальной трансфинитной и актуальной абсолютной бесконечностями.

Своей теорией множеств Г. Кантор внес очень большой вклад в развитие этого понятия. До него уже было сделано достаточно в этом отношении многими математиками как предшествующих веков, так и XIX в., особенно Болъцано и Дедекиндом. Используя их достижения, Кантор пошел дальше, ввел целый ряд новых понятий, обогативших содержание понятия бесконечности.

Понимание глубины и всеобщности понятия бесконечности мы находим у многих математиков. Особенно отчетливо это понимал Д. Гильберт, который в одном из своих докладов в 1925 г. сказал: «...Окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за пределы узких интересов специальных наук и, более того... оно стало необходимым для чести самого человеческого разума».

Понятие актуальной абсолютной бесконечности несет в себе «взрывную силу» диалектики.

Сущность и причина кризисов в математике заключается в том, что устаревшая методология и логика сталкиваются с новыми открытиями такого рода, которые по существу своему требуют радикальных изменений в трактовке логики и методологии, а то и всего мировоззрения. Метафизическое представление о логике и вообще о явлениях мира приходит в противоречие с проявляющейся в явном виде диалектикой, которую сами математики невольно обнаруживают, делая те или иные фундаментальные открытия.

Следует отметить, что разрешение кризисов оснований математики можно понимать двояко: во-первых, как философское объяснение создавшейся ситуации и на его основе указание методологических путей выхода из кризиса и, во-вторых, как указание чисто математического, конструктивного пути к устранению возникших трудностей в построении теории. Пока ни на одном из этих направлений кардинального прогресса не замечается.

Кантор: "Актуальным трансфинитам - ДА! Актуальным абсолютам - НЕТ!"

Даже если только перечислить все те понятия, которые Кантор ввел в математику, то и тогда будет сразу ясно, как много он сделал для развития проблемы бесконечности, так как все введенные им понятия относятся именно к бесконечности. Но Кантор не просто ввел отдельные новые понятия, а связал их единой теорией множеств, которая и положила начало новой эпохе в развитии математики, точно так же, впрочем, как и начало новому кризису.

Кантор не ограничивался строго доказанными положениями, а стал широко пользоваться «интуитивным» представлением об актуальной бесконечности. Исходя из допущения ее существования, он строил свои дальнейшие суждения, которые и привели его к новым открытиям. Кантор хорошо видел связь между потенциальной и актуальной бесконечностями. Он писал, что невозможно было бы продолжать никакой потенциально-бесконечный процесс, если бы заранее не было известно о возможности этого процесса.

Большой заслугой Кантора является введение понятия мощности, аналогичного понятиям «число» и «количество» в конечных множествах. С помощью этого нового понятия он дал четкое определение бесконечного множества как такого, в котором его «составная часть» равна по мощности всему множеству. Это определение действительно и поныне.

Введение понятия мощности дало возможность сравнивать различные бесконечности. Так, Кантор ввел понятие счетного и несчетного множества. Счетное — это такое множество, которое можно привести во взаимно- однозначное соответствие с множеством целых положительных чисел, т. е. натурального ряда. Несчетное же множество — это такое множество, которое равномощно ряду всех действительных чисел. В связи с этим весьма существенным различением мощностей бесконечных множеств Кантор высказал предположение о том, что мощность ряда действительных чисел, или континуума, является непосредственно следующей за мощностью счетного множества. Это предположение называется континуум-гипотезой. Впрочем, континуум-гипотеза и ее решение Гёделем (1940) и Коэном (1963) нас здесь не интересует.

Введя понятия упорядоченности множеств и упорядоченного бесконечного множества, Кантор увидел, что в бесконечности порядок элементов играет гораздо более значительную роль, чем в конечных количествах. Так, например, если мы прибавляем к бесконечному множеству единицу слева, то это никак не изменяет мощности бесконечного множества. Если мы ту же единицу прибавляем справа от бесконечности, то получается новое множество, т. е. (ω+1,— это новое множество, отличное от бесконечного множества ω, а 1 + ω = ω). Отсюда, разумеется, вытекает неприменимость закона коммутативности для бесконечных чисел, или, как их назвал Кантор, трансфинитных чисел.

Кантор понимал, что главная идея его теории множеств — это включение понятия актуальной бесконечности в математические операции и рассуждения, поэтому он старается обосновать в первую очередь именно это понятие. Он считает, что можно рассматривать актуально бесконечное в трех отношениях. Во-первых, оно существует в боге, и в этом случае называется абсолютным.

Во-вторых, оно существует в конкретности, или в natura naturata (т. е. в созданной природе), и тогда Кантор называет его «трансфинитным».

В-третьих, актуально бесконечное рассматривается в абстракции, и под этим он понимает то, как, в каких формах актуально бесконечное постигается человеческим умом. Это постижение может осуществляться в форме понятия трансфинитного числа «или,— пишет Кантор,— в еще более общей форме трансфинитных порядковых типов».

Забегая вперед, отмечу, что Кантор твердо понимал, что актуального абсолютного бесконечного в математике нет и быть не может. Если отбросить абсолютно бесконечное, т. е. бесконечное как бога, отмечает Кантор, то в связи с двумя другими проблемами, или отношениями, обнаруживаются четыре различные точки зрения, которые существовали раньше и существуют теперь. Во-первых, можно отрицать трансфинитное бесконечное и в конкретном и в абстрактном (согласно терминологии Кантора), как это делал Коши и как делают позитивисты и другие. Во-вторых, можно принимать бесконечность в конкретности, но отвергать трансфинитное актуально бесконечное в абстракции. Эту точку зрения Кантор находит у Декарта, Спинозы, Лейбница, Локка и многих других, в том числе и у современных ему авторов. В-третьих, наоборот, можно признать актуальную трансфинитную бесконечность in abstracto, но отрицать in concreto. Здесь мы сталкиваемся с неосхоластиками. Другая часть богословов отрицает актуальную бесконечность и в том, и в другом виде. В-четвертых, трансфинитное актуально бесконечное можно принимать и in concreto, и in abstracto. Приверженцев этой точки зрения Кантор насчитывает, кроме себя, немного, но выражает твердую уверенность, что он не будет последним, защищающим актуальную трансфинитную бесконечность.

Нам здесь важно уяснить, что с трансфинитами, в отличие от абсолютов, в математике особых проблем нет. Есть некоторое несогласие, но кризиса они не порождают.

Часто встречающимся родом смешения в сфере актуального бесконечного является неразличение трансфинитного и абсолютного. Последние отличаются друг от друга существенно тем, что первое, хотя и бесконечно, но может быть увеличено, а второе не может увеличиваться. Потому-то абсолютное и немыслимо в математике (т.е., к нему нельзя прибавить 1, вообще ничего прибавить нельзя). Такое смешение встречается в пантеизме, в «Этике» Спинозы. Кантор упрекает и Канта за его антиномии, за его «шаткое, неясное» употребление понятия бесконечности, хотя Кантор и не совсем правильно понял Канта (вернее, совсем не понял. В некоторой степени здесь прав Э. Цермело, который пишет, что Кантор не понял «диалектического» смысла антиномий Канта и что по странности судьбы учение Кантора с трудом распространялось из-за антиномий учения о множествах, формально аналогичных, по его мнению, антиномиям Канта).

Столь же мутное понимание Кантором Гегеля. Когда В. Вундт сравнивает Кантора с Гегелем, то это возмущает математика. Он называет Гегеля «пантеистическим», не знающим никаких различений в актуально бесконечном, тогда как для самого Кантора как раз характерны резкие различения внутри этого понятия. В другом месте Кантор говорит, что у Гегеля «все противоречиво, темно и сбивчиво, противоречие как выдающийся элемент его философии даже им самим возводится в характерную особенность его способа мышления, которой я по крайней мере не завидую». Так обнаруживает Кантор свое непонимание диалектики.

Интересно, что Э. Цермело, издавший работы Кантора в 1932 г., относится к философским рассуждениям Кантора весьма пренебрежительно и считает, что они имеют только «психологически-биографический» интерес. На самом же деле, свойственная Кантору потребность в философском осмыслении своих математических достижений весьма интересна и характеризует его как широкого мыслителя. Он понимает, что бесконечное относится не только к области математики, но и к области «метафизики», т. е. философии.

Неоднократно обращая внимание на то, что в бесконечном множестве часть может быть равна целому, Кантор называет это просто одним из новых, особых свойств бесконечного, отличных от свойств конечного. Он не видит того, что эти «просто новые» свойства заставляют вносить определенные коррективы в логику, а не только в математику, ибо это вовсе не «просто» новые свойства, а такие, которые существенно меняют наши коренные представлени об отношениях вещей, а потому касаются логики. Но это остается вне понимания Кантора, и он пытается доказать, что никакого противоречия здесь нет. Так, он писал, что нет никакого противоречия в равенстве целого и части, поскольку целое множество М и его часть M1 относятся к различного рода реальностям. «Разве первое М не противостоит нам как объект,— спрашивает Кантор,— тогда как последнее М1 есть абстрактный образ его в нашем духе?» . Что же касается древней аксиомы: «целое больше части», то Кантор говорит, что было бы ошибкой признавать это положение аксиомой, так как оно не действительно для бесконечности.

Обращаю внимание: здесь мы впервые сталкиваемся с предметным отношением, выраженным в логике, как понятие, совпадающее со своим отрицанием. «Часть равна целому» — теоретико-множественная метафора логического отношения «часть понятия равна целому понятию». Или, поскольку часть есть не целое, а его логическое отрицание, то уже в наивной теории множеств выявляется идея: "бесконечное понятие содержит в себе свое отрицание". Как в сфере конечных множеств, так и в сфере конечных понятий такое отношение невозможно.

Все это с частями и целым было бы хорошо, если бы такие положения не лежали в основе формальной логики.

Вместе с введением в науку понятия актуально бесконечного нужно было также внести существенные изменения в логику. Но как это сделать? Какие изменения необходимы? Приведенные ранее вопросы до сих пор не имеют ответа, несмотря на их интенсивные исследования.

В следующих постах я попытаюсь подробно объяснить, как возникает коллизия между трансфинитами и абсолютом. Те, кто ищет царских путей в философии или видит в философии лишь деятельность самокопания в Я, могут пропустить эти посты, да и вообще рекомендую им покинуть тему. Далее идет материал, просекаемый только при условии живого интереса к будущему общества и общественным способам познания. Либералам это не интересно, потому никакого содержательного обсуждения от них ожидать не приходится. Снова замечу: философия - классовая наука. Либо диктатура буржуазии (т.е. фашизм, по определению Геогргия Димитрова), либо коммунизм. Либо Поппер, либо Гегель. Третьего не дано.

Операции над множествами

Понятие множества является одним из основных математиче­ских понятий и не поддается точному определению. Поэтому мы ограничимся лишь описанием этого понятия.

Множеством назы­вается собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-нибудь признаку. Например, можно говорить о мно­жестве всех натуральных чисел, множестве всех точек прямой, множестве всех многочленов с вещественными коэффициентами, множестве всех мышей и слонов и т. п.

Говоря о множестве, мы считаем, что относительно всякой вещи верно одно и только одно из двух: эта вещь либо входит в наше множество в качестве его элемента, либо не входит. Конструкции типа “и не то, чтобы “да”, и не то, чтобы “нет”" – категорически запрещены.
Если А есть некоторое множество, а х — вещь, то факт при­надлежности вещи х множеству А обозначается так

Если же х не входит в A, то это записывают так:

Например, если R есть множество всех рациональных чисел, то

,     а 

Попутно напомню, какие бывают числа.

1. Понятно, бывают целые. Они образут множество натуральных чисел. Обозначают это множество обычно буквой N.

2. Бывают рациональные числа. Они имеют вид

,

где m и n натуральные целые числа. Это множество обозначают буквой R. Понятно, что при n=1 получается целое число m. Значит, множество натуральных чисел вложено во множество рациональных чисел. Этот факт записывают так:

Читается: множество N вложено в множество R. Обычно предполагается, что дробь несократима, т.е. m и n – взаимно простые числа. Если же дробь сократима, то можно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель и привести дробь к далее несократимому виду.

3. Бывают числа иррациональные. Их нельзя представить в виде

.

Например, число . Если бы существовали такие взаимно простые целые числа m и n, что , то было бы: или . Поскольку  m и n – целые, они имеют в своем составе только целые множители. Из этого следует, что если  делится на 2, то и m делится на 2, m = 2k. Значит,  делится на 4 и наше равенство обретает вид: . Сократив обе части на 2, получим , т.е , а с ним  и n  делится на 2. Получается, что m и n имеют общий делитель 2 вопреки предположению, что дробь m/n несократима.

Понятно, что множества рациональных и иррациональных чисел не имеют общих элементов, т.е. не пересекаются.

4. А бывают ли еще какие-нибудь числа? Да, бывают. Их называют трансцендентными. Они появляются как решения уравнений, содержащих тригонометрические и гиперболические функции (всякие тригонометрические и гиперболические синусы-косинусы, обратные им всякие арксинусы и ареокосинусы, ряд других экзотик).

5. – А еще? Венечка, бывают ли еще какие-нибудь числа?
- Нет, это все.
- Но почему, Венечка? Почему?!

Мы все знаем, что дроби, изучаемые в школе, называют обыкновенными. А какие необыкновенные дроби? Десятичные, например, едва ли столь уж необыкновенные. А вот цепные дроби – действительно необыкновенные! Мы не будем здесь с ними разбираться, а просто отметим факт, полученный с использованием аппарата цепных дробей. Факт содержит три утверждения:
а) всякое рациональное чсло представимо конечной цепной дробью;
б) всякое иррациональное число представимо бесконечной периодической цепной дробью;
в) всякое трансцендентное число представимо бесконечной непериодической цепной дробью.

Всё. Все логически возможные варианты исчерпаны.

Для интересующихся теорией информации и динамического хаоса заметим, что только трансцендентные числа являются моделями полностью случайных процессов. Остальные числа можно сжать каким-нибудь алгоритмом до конечного текста, т.е. эти числа, в лучшем случае, дают псевдослучайное приближение к случайности на некотором конечном отрезке двоичной последовательности. 

Мы рассмотрели примеры числовых множеств, наиболее часто встречающихся в математике. Но вернемся к теории множеств. Сначала продемонстрируем, как строится математический язык.

Само множество никогда не является своим элементом:

Без этого требования легко попасть в лапы парадокса Рассела.

В целях общности и простоты формулировок полезно ввести так называемое „пустое множество”, которое вовсе лишено элементов. Например, множество вещественных корней уравнения   пусто. Пустое множество обозначается символом Ø. Или 0, причем опасность смешения с числом „нуль” в дальнейшем не возникает, ибо из контекста будет ясно, о чем идет речь. Иногда, впрочем, пустое множество обозначают через .

Наряду с пустым множеством нам придется иметь дело с „одноэлементными” множествами, т. е. множествами, состоящими только из одного элемента. Например, множество корней уравнения 2х — 6 = 0 состоит из одного элемента — числа 3. Следует остерегаться смешения одноэлементного множества с его единственным элементом. Не путать элемент и множество.

Если общее имя элементов множества А есть х, то иногда пишут

А = {х} (читается: А состоит из элеменов х).

Если же возможно выписать обозначения всех элементов множества, то пишут их подряд и заключают в фигурные скобки, например

А = {а, Ь, с, d}.

Определение 1. Пусть А и В - два множества. Если всякий элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что А есть часть (или подмножество) множества В и пишут

    (множество А включено в множество В)

или

   (множество В содержит в себе множество А).

Подобное соотношение называется включением.

Пусть, например, N есть множество всех натуральных, R — множество всех рациональных чисел, тогда, как мы уже видели,

Ясно, что всякое множество есть часть самого себя:

Пустое множество есть часть всякого множества А. Для того чтобы это утверждение стало вполне ясным, достаточно высказать определение 1 в такой форме: ни один элемент, не входящий в В, не входит и в А ("перевернули" определение логически).

Определение 2. Пусть А и В два множества. Если  и , то говорят, что множества A и В равны и пишут

А = В.

Например, если A = {2, 3}, а В есть множество корней уравнения  , то А = В.

Определение 3. Пусть А и В два множества. Множество S, состоящее из всех элементов обоих множеств А и В и не содержащее никаких других элементов, называется суммой множеств А и В и обозначается так:

S = A + В, или S = A U В.

Подобным же образом определяется сумма n множеств , сумма последовательности множеств и вообще сумма множества множеств , отмеченных для отличия друг от друга значком , принимающим какие-нибудь различные значения. хоть целые, хоть дробные, хоть трансцендентные, Соответствующие обозначения таковы:

,

или 

.

Аналогично:

,

Например, если мы обозначим множество  рациональных чисел буквой R, иррациональных - Ir, трансцендентных -  T,  а множество всех действительных чисел – D, то мы можем построить такое определение:

Если A вложено в В, то очевидно

А + В = В,

В частности

А + А = А.

Пользуясь  “перегрузками” стандартных операций "+", "-" и т.д., следует быть осторожными!

Определение 4. Пусть А и В - два множества. Множество Р, состоящее из всех элементов, общих обоим множествам А и В, и не содержащее никаких других элементов, называется пересечением множеств А и В и обозначается так:

, или

Напомню на будущее следующие обозначения: через (a, Ь), [а, Ь], [а, Ь), (a, b] обозначают множества чисел х, удовлетворяющих соответственно неравенствам: 

,  ,   ,  .

Каждое из этих множеств называется промежутком, а а и b - его концами. Промежуток (а, Ь) называется также интервалом (открытым иетервалом: в него не входят концы отрезка а и b. Все точки, сколь угодно близкие слева к а и  справа к b – ему принадлежат, а а и b – не принадлежат).   Множество [a, b] называют отрезком, или с е г м е н то м. Это множество содержит и обе свои концевые точки – и а, и b. Промежутки [а, Ь) и (а, b] называются пол-усегментами или полуинтервалами. Первый замкнут справа, открыт слева. Второй – наоборот.

Теперь пара примеров. Например, если А = { 1, 2, 3, 4}, В = {3, 4, 5, 6}, то
АВ = {3, 4}. Если А = (a,b], B = [a,b), то

Вот еще одно множество:

Это - одноэлементное множество. Множество содержит одно, общее всем открытым множествам-интервалам подмножество {0}.

Еще пример:

Это - пустое множество. Множество не содержит ни одного общего всем открытым интервалам подмножества.

Если , то очевидно АВ = А и, в частности, .

То обстоятельство, что множества A и В не имеют общих элементов, можно записать так:
AВ = 0. Или:

В этом случае говорят также, что множества A и В не пересекаются.

Мы построили основные термы теории. Отметим их лемматичность, которая критикуется Гегелем. Лемматичность (предположительность) заключается в том, что мы интуитивно, из сфры представлений, выбрали объекты "множество" и "элемент". Затем столь же предположительно заявили о возможных их связях друг с другом: элементов с элементами, элементов со множествами, множествами со множествами. Мы не вдаемся в вопрос, истинны ли наши исходные представления: нам так кажется - вот и вся аргументация истинности. Можно запускать логику на этом субстрате, который нам кажется истинным.

Теперь посмотрим, как работает сформулированный нами язык в логике.

Есть несколько тривиальных следствий (теорем) из предложенных определений (аксиом).

Теорема 1. Пусть А некоторое множество и - множество множеств. Тогда

Видим, что эта теорема – аналог аксиомы ассоциативности в теории чисел. Для любых а,б, в, г, д справедливо а(б + в + г + д) = аб + ав + аг + ад. Можно раскрывать скобки, можно выносить общий множитель.

Наиболее общий способ доказательства подобного рода теорем заключается  в том, что, предполагая, что некоторый элемент х принадлежит левой части равенства, доказываем, что этот х есть и в правой. И наоборот. Если какой-то элемент х содержится в правом множестве, то он содержится и в левом. Из нашей теоремы вытекает эта самая, полезная на практике, ассоциативность:

А (В + С) = АВ + АС.

Замечание. Типичная вумная маша от философии вполне может заявить (и действительно сплошь и рядом заявляет), что она совершает революцию в познании тем, например, что признает неверным доказанный факт ассоциативности. "Не хочу ассоциативности! Хочу быть гением! А потому постулирую антиассоциативность!", - гундосит маша-"гений".  "Гению" и не вдомек, что для антиассоциативности необходимо изменить базовые представления об элементах, множествах и их отношениях. А как это сделать -  "гениальности" недостает. Трепануть - гениальности хоть отбавляй, сделать - нет никто, никакой гениальности.

Определение 5. Пусть А и В два множества. Множество R, состоящее из всех тех элементов множества А, которые не входят в множество В, и только из этих элементов, называется разностью множеств А и В и обозначается так:

R = A – B или R = A \ B.

Например, если А = { 1, 2, 3, 4}, В = {3, 4, 5, 6}, то А – В = {1, 2}. А множество В \ А = {5,6}

Теорема 2. Если А, В, С три множества, то А(В – С) = АВ – АС.
Доказательство предоставляем читателю.

Бросается в глаза аналогия между свойствами операций над множествами и свойствами арифметических действий. Однако эта аналогия не полна. Мы уже видели, что А + А = А, АА = А; этих соотношений в арифметике, вообще говоря, нет. Приведем еще один пример нарушения указанной аналогии.

Теорема 3. Соотношение

(А -В) + В = А

верно тогда и только тогда, когда В вложено в А, т.е.,  ( ).

Итак, подведем итог. Есть такие штуки – множества. Предполагается, что мы можем сравнивать множества друг с другом: можем говорить, что множества, в некотором смысле равны, или одно “больше” другого, или обе их разности (А – В) и (В – А) отличны от пустого множества. Ввели три операции над множествами: пересечение – отбор общих элементов из множеств, объединение – формирование множества, содержащего элементы всех множеств, нахождение разности множеств.

Часто идет схоластический метафизический спор: что есть материя? Пересечение всех процессов Вселенной? Или их объединение? Диалектика усматривается в том, что материю объявляют единством объединения процессов реальности (Бытие) с их пересечением (Ничто). Мол, и то, и другое – две стороны одного и того же феномена – материи. Пересечение – содержание и сущность. Объединение – форма и явление. И нельзя их ни отрывать друг от друга, ни отождествлять. Материя есть “и не то, чтобы да, и не то что бы нет”. Что противоречит, как мы сказали в самом начале, идее теории множеств, выстраданной опытом математиков всех времен и народов. На таком фундаменте (“то ли дождик, то ли снег, то ли любит, то ли нет”) науку не построить. То ли то, то ли сё, то ли и то, и сё, то ли ни то то, ни сё…

Мы должны понять, что и то, и другое построение материи – посредством ли пересечения ее подмножеств, посредством ли объединения, – есть пребывание в одном качестве. В качестве множества. Различия лишь количественные, не выходящие за пределы меры множеств.

Продолжаем изучать бесконечность, пока что только актуальную трансфинитную. В актуальную абсолютную еще нос не суем. Мы, наверное, уже заметили, что и такая бесконечность далека от обывательского понимния бесконечности, это бесконечность, уже нам совершенно непривычная, бесконечность, в которой уже буксует даже формальная логика с ее "часть меньше целого".

Здесь мы уже чуть-чуть начинаем приближаться к пониманию предмета, исследуемого Гегелем. Начинаем понимать, почему критики с обывательскими представлениям о бесконечном (а к таким критикам следует отнести и классиков марксизма) так раздражают Гегеля. Филистер далек от того, чтобы уловить суть и основу системы и метода Гегеля. Даже здесь, на форуме философии, мы не видим проблесков осознания гегелевской философии, находим только ее редукцию к мещанскому, бытовому содержанию вроде "трех законов диалектики" или "абсолютное есть Бог, а Бога мы давно преодолели!". Именно эти и подобные им положения тыкают нам в нос, доказывая, чем, по мнению тыкающего, занимается истинная философия.

Еще раз подчеркну, что человек, не освоивший азов бесконечного, ничего общего с теоретической философией не имеет!

Ладно. Теперь остановимся детальнее на самой простой бесконечности - счетной.

Счетные множества

Определение 1. Пусть N множество всех натуральных чисел N = { 1, 2, 3, 4, …}.
Всякое множество А, эквивалентное множеству N, называется исчислимым, или счетным.

Иногда говорят также, что множество A имеет мощность а. Обычно используют для обозначения мощности первую букву еврейского алфавита алеф א. В качестве эталона мощности используют мощность множества натурального ряда. Ее обозначают Читается: Алеф-ноль. Есть и другие алефы: первые, вторые , третьи, … энные….

Очевидно, все счетные множества эквивалентны между собою.

Вот несколько примеров счетных множеств:

А = {1,    4,    9, 16……….n в квадрате    …},

В = { 1,    8,    27,    64, …,    n в кубе   …},

С ={2,    4,    6,  8……….2n,    …},

D = {1,    1/2,    1/3, 1/4……….1/n,    …}.

Теорема 1. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было перенумеровать, т. е. представить в форме последовательности:

А = {a1, a2, a3, …, an, … }

Доказательство, естественно, опускаем. Само утверждение теоремы – почти что тавтология. В доказательстве отмечаются те моменты, против которых протестует здравый смысл, но которые опровергаются логикой.

Теорема 2. Из всякого бесконечного множества А можно выделить счетное подмножество D.

Очень спорное положение с точки зрения практики.  В природе, например, это не всегда удается. В квантовом ансамбле, подчиняющемся статистике Бозе-Эйнштейна, что-то выделить невозможно. Какое-то счетное множество протонов.

Теорема 3. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Практически очевидно. В отличие от отблеска аксиомы выбора в предыдущей теореме.

Следствие. Если из счетного множества А удалить конечное подмножество М, то оставшееся множество А — М будет счетным.

На отрицании (незнании) этой теоремы какой-то канадский попик-баптист (или адвентист) шибко кричит, что – как так?! Если из книжного шкафа с бесконечным числом книг изъяли книгу, то их количество – не уменьшилось?! Не может такого быть!!!

Теорема 4. Сумма конечного множества и счетного множества без общих элементов есть счетное множество.

Условие “без общих элементов” может быть опущено. Оно – только для облегчения доказательства.

Теорема 5. Сумма конечного числа попарно не пересекающихся счетных множеств есть счетное множество.

Почти очевидно.

Теорема 6. Сумма счетного множества попарно не пересекаю­щихся конечных множеств есть счетное множество.

Пока что тоже интуицию не напрягает.

Теорема 7. Сумма счетного множества попарно не пересе­кающихся счетных множеств есть счетное множество.

А вот это уже напрягает! Если бы не доказательство, с которым не поспоришь. Интуиция же помалкивает в недоумении.

Используя символ а как обозначение мощности счетного мно­жества, мы можем доказанные теоремы изобразить с помощью мнемонических схем:

а — п = а,

а + п = а,

а + а + …+а = па = а,

п1 + п2 + п3+… = а,

а + а + а +… = аа= a.

Ладно. Теперь понятно, что множество R всех рациональных чисел счетно.

Мы подошли к самому интересному в этой главе. Мы помним, что из счетного множества А разными способами можно выбирать счетные подмножества В так, что В является собственной счетной частью А. Мы говорили об этом так: всякое счетное множество имеет эквивалентную правильную часть. А если множество бесконечное и несчетное? Правда, мы пока не знаем других бесконечностей, кроме счетной. Но все же? Если допустить, что существуют иные бесконечности с иной мощностью? То можно ли и в них выделить эквивалентную правильную часть? Подход к ответу обозначает следующая теорема:

Теорема 9. Если к бесконечному множеству М прибавить конечное или счетное множество А новых элементов, то это не изменит его мощности, т. е.

М + А ~ М.

Если М – счетное множество, то мы уже не протестуем. Теорема обобщает этот результат на любые мощности, выше счетной мощности алеф ноль  И, наконец, наша центральная теорема этой главы:

Теорема 10. Если бесконечное множество S несчетно, а А его конечная или счетная часть, то

S - A ~ S.

Йесс!

Всякое бесконечное множество содержит эквивалент­ную правильную часть!

Как уже отмечалось, конечное множество не обладает указан­ным свойством (вспомним возражение канадского попика). Это обстоятельство позволяет дать (принадлежа­щее Рихарду Дедекинду) положительное определение бесконечного множества. Озвучим его:

Множество называется бесконечным, если оно содержит эквивалентную правильную часть.

Мы, наконец, смогли точно отделить конечность от бесконечности.

Теперь – вперед! К пониманию бесконечного числа бесконечностей!

Наверное, все уже заметили, что в изложении теории множеств мне особо-то никто не помогает. Так что все ошибки, дабы такие обнаружатся, мои. Это особенно касается данного поста, фундаментального для понимания разрыва философии и математики, диалектики и науки. Собственно, столкновение трансфинитов и абсолютов мы рассмотрим в следующем сообщении. Но "проницательный читатель" (нравится мне этот эпитет из Лайоша Мештерхази!) может уже начать догадываться, откуда ветер дует, предвещая Storm und Sturm.

Сравнение мощностей

Мы определили выше смысл выражений «два множества имеют одинаковую мощность», «множество имеет мощность а», «множество имеет мощность с». Таким образом, встретив слово «мощность» в одном из подобных выражений, мы знаем, что оно означает, но само по себе это понятие у нас еще не определено. Что же такое мощность множества?

Г. Кантор пытался определить это понятие с помощью таких, довольно-таки туманных, выражений:

«Мощностью данного множества А называется та общая идея, которая остается у нас, когда мы, мысля об этом множестве, отвлекаемся как от всех свойств его элементов, так и от их порядка». В связи с этим Г. Кантор обозначал мощность множества А символом(две черты — «двойное» отвлечение).

В настоящее время канторовский способ определения понятия мощности не считается удовлетворительным (хотя его обозначение оказалось очень удачным, но мы им пользоваться не будем – трудности редактирования. Я буду для обозначения «двойного отвлечения» использовать умляут). Вместо этого принято такое формальное определение:

Пусть все множества разбиты по классам, так что два множества попадают в один класс тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Соотнесем каждому такому классу множеств какой-либо символ и будем его называть мощностью любого множества данного класса. При этом, если мощность некоторого множества А есть α, то пишут

Ä = α.

При таком способе определения ясно, что эквивалентные множества действительно имеют одинаковую мощность, а также что, соотнеся классу, содержащему множество N всех натуральных чисел, символ а, можно сказать, что счетное множество имеет мощность а.

Далее, буква с есть символ, соотнесенный классу, содержащему множество U = [0, 1] и потому про все множества, эквивалентные U, мы и говорим, что они имеют мощность с.

Приведем еще один пример применения определения мощности. Пусть классу, содержащему множество А = {а, Ь, с}, соотнесен символ «3». Тогда можно сказать, что любое множество, эквивалентное множеству А (т. е., попросту сказать, любое множество из трех элементов), имеет мощность 3. Мы видим, что понятие количества элементов конечного множества есть частный вид более общего понятия мощности.

Наконец, 0 есть мощность пустого множества, а 1—мощность любого «одноэлементного» множества.

Имея, таким образом, определение понятия мощности, естественно поставить вопрос о сравнении мощностей.

Пусть А и В множества, имеющие соответственно мощности α и β:

Если:

1) множества A и В не эквивалентны, но

2) в множестве В есть часть В*, эквивалентная множеству А, то говорят, что множество В имеет большую, а множество А—меньшую мощность, и пишут α < β, β > α.

Например, если

  

то А не эквивалентно В, но А эквивалентно В*, где

а потому 32 < 49.

Точно так же любое конечное натуральное число n меньше, чем каждая из мощностей а и с.

Наконец, если N = {1, 2, 3, …}, мощность N = a, U = [0,1], мощность U=с, то N не ~ U, но N~U*, где U* – множество рациональных чисел, например.

Поэтому а < с.

Вопрос о том, существуют ли мощности μ, промежуточные между а и с, т. е. такие, что а < μ < с,  решен П.Дж.Коэном. Но мы касаться этого вопроса и его решения не будем. Скажу только, что предположение, что таких мощностей нет, носило название “континуум-гипотезы”. Она более полувека трепала математикам нервы.

Зато легко построить множества мощности, большей чем с.

Например, множество F всех вещественных функций, заданных на сегменте [0, 1], имеет мощность, большую чем с. Впрочем, с философской точки зрения это малоинтересно. Гораздо интереснее следующее предложение: исходя из множества любой мощности, можно построить множество большей мощности.

В частности: пусть М какое-либо множество. Если Т есть множество всех подмножеств (частей) множества М, то .

В дальнейшем я буду проводить доказательство с иллюстрацией на конечном множестве М. Текст иллюстрации я представлю в формате цитаты.

Поясню на простом примере с множествами конечной мощности. Например, двухэлементное множество М = {1,2} имеет, по определению, мощность 2 (в нем 2 элемента). Однако, подмножеств (не элементов!) в нем 4: {Ø}, {1}, {2}, {1,2}. Т.е., Т = {{Ø}, {1}, {2}, {1,2}} содержит 2^2 = 4 элемента, а 4 > 2.

Пусть множество М содержит три элемента. Тогда множество его подмножеств удвоится: Т = {{Ø}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2.3}, {1,2,3}} содержит 23 = 8 элементов, а 8 > 3. И даже 8 > 4. Вообще, нетрудно показать, что множество всех подмножеств конечного множества мощности n имеет мощность 2n. Показ можно выполнить, например, так: Т содержит одно пустое множество, С1n одноэлементных множеств, С2n двухэлементных множеств, и т. д., а всего в Т будет входить

1 + С1n +С2n + … + Сn-1n +Сnn = 2n

элементов.

Извиняйте, что число сочетаний из n по k не форматируется в надлежащем виде - редактор, все же, не предназначен для изложения научных фактов.

Отметим, что элементами множества Т являются все части М, в частности само М, пустое множество 0 и все одноэлементные подмножества М.

Итак, мы желаем убедиться, что  множество Т, являющееся множеством всех подмножеств множества М, имеет большую мощность, нежели М.

Покажем, прежде всего, что Т и М – не эквивалентны.

Допустим, напротив, что М и Т – эквивалентны, т.е. допускают какие-то взаимно однозначные соответствия между элементами множества М и элементами множества Т, которыми являются подмножествами  М. Еще раз: элементы Т есть подмножества , составленные из элементов М.

Ладно. Пусть отображение φ реализует какое-либо взаимно однозначное соответствие между этими множествами. Каждому элементу т из М соответствие φ ставит определенный элемент Т (т.е., подмножество из М), который мы обозначим через φ(т) = t, и каждый элемент Т есть φ (т) для одного и только одного  т из М.

Понятно, что в области конечных множеств такая ситуация абсурдна. Т.е., взаимно однозначное соответствие не может быть осуществлено. Но бесконечности (где нередко часть равномощна целому) могут и опровергать здравый смысл.

Назовем элемент m из М «хорошим», если т принадлежит φ (т), и «плохим» в противном случае.

Поясню на примере конечного множества М = {1,2,3,4,5}. Если мы элементу 1 поставим  в соответствие элемент  {1,2,3,4,5} из Т (т.е. положим φ(1) = {1,2,3,4,5}), то элемент 1 – “хороший”, поскольку сам содержится в отображаемом подмножестве (забегая вперед, можно назвать такое подмножество "собственным" в подражание терминологии Бертрана Рассела).

А если продолжим отображение, например, так: φ(2) = {Ø}, φ(3) = {1,2}, φ(4) = {2,5}, то элементы 2, 3 и 4 будут “плохими”, ибо не содержатся в отображаемых подмножествах (т.е., в терминологии Рассела - "несобственные" подмножества).

Зачем вся эта “заумь”? Дело в том, что мы еще даже не знаем, возможно ли какое-то взаимно однозначное отображение (изоморфизм) М  в Т. Но, может быть, господь Бог его построил? И построил так, что все элементы М – “хорошие”. А может так, что все элементы “плохие”. А может, “отец хотел дочку, мать хотела сына, а Бог пошел на компромисс”: перемешал “плохие” и “хорошие”  элементы по неведомым нам причинам. Неисповедимы пути Господни!

Понятно. Идем дальше.

Элемент, который в соответствии φ отвечает самому множеству М, наверное «хороший» (все элементы М куда-то отображаются; в нашем примере – это, например,  элемент 1) , а элемент, отвечающий пустому множеству, наверное «плохой» (в М нет пустого элемента, есть только пустое подмножество). В нашем примере элемент 2 «плохой». Иначе говоря, наше определение “плохой” – “хороший” корректно: в М, действительно, есть и те, и другие элементы.

Пусть S множество всех «плохих» (и только «плохих») элементов М. Так как S принадлежит T в качестве его элемента, то в соответствии φ множеству S отвечает какой-то элемент m0 из  М.

S = φ (m0).

В нашем примере “плохими” являются элементы 2, 3, 4. Они образуют подмножество в S в Т: S = {2,3,4}. Значит, в наших предположениях, в М существует элемент, который отображается в это подмножество. Например, можно определить φ(5) = {2,3,4}.

Каков же этот элемент m0 — «хороший» или «плохой»? Допустим, что m0 «хороший» элемент. Это значит, что m0 из φ (m0) = S, а так как S состоит только из «плохих» элементов, то m0 элемент «плохой», что противоречит сделанному допущению.

Итак, m0 «плохой» элемент. Но тогда m0 не принадлежит φ(т0) = S, а это означает, что m0 «хороший» элемент. Стало быть, элемент m0 ни «хороший», ни «плохой», а так как всякий элемент или «хороший» или «плохой», то получается абсурдная ситуация, которая и обнаруживает, что Т не равномощно с М.

Все же заметим, что абсурдная ситуация возникает в сфере трансфинитов, для которых формальная логика представляется священной. А если нет? Посмотрим позже, в следующих постах.

Воспроизведем эти кренделя на нашей модели.

Наш элемент m0 = 5 – явно “плохой”. Значит, он должен принадлежать множеству всех “плохих” элементов из S, т.е., содержать себя в области своей проекции S в Т, т.е., он “хороший”. Но он “хороший” потому, что принадлежит множеству “плохих” элементов, т.е., потому, что он – “плохой”.  Таким образом, наш элемент 5 “хороший” потому, что он “плохой”. А “плохой” потому, что он “хороший”. Получилась логически взаимообусловленная круговерть, на которой позже Рассел построит свой парадокс, а раньше Гегель построит свою логику. Понятно, что предположение о равенстве мощности множества и множества всех его подмножеств эквивалентно предположению об абсолютности любого множества.

Но, если Т* есть множество всех одноэлементных подмножеств М, то, очевидно, Т* ~ М, а так как Т* вложено в Т, то теорема доказана.

Итак, если М – конечно и имеет мощность n, то мощность множества всех подмножеств М равна 2^n.

Отметим, что этот результат верен и для случаев, когда М пустое (п = 0), или одноэлементное (п = 1) множество, ибо в первом случае Т состоит из одного М, а во втором из М и пустого множества.

В связи с этим естественно дать следующее определение.

Если множество М имеет мощность μ, а множество всех его частей Т имеет мощность  , то говорят, что

В частности:  

И справедлива формула (доказывать не будем).

МИБ, 9 Май, 2016 - 18:04, ссылка

Собственно, столкновение трансфинитов и абсолютов...

Мне кажется, что до этого пока не дошли, ещё не всё сказано про потенциальную бесконечность. Философия, второй курс НГУ, там речь шла про муху, ползающую по стеклу. В геометрической интерпретации это будет выглядеть так. Признавая потенциальную бесконечность, фактически признаётся существование трансцендентного, то есть муха никогда не попадёт на другую сторону стекла, если этот "лист" не свернуть в лист Мёбиуса. Насколько необходимо мухе физически попасть за стекло, на другую сторону поверхности, которая бесконечна? Может быть мухе следует признать потенциальную бесконечность, а познать трансцендентное ей поможет логика? Тогда возникает другой вопрос, где "живёт" логика? Если математическая логика живёт в математике, то возможно ли с её помощью познать то, что за пределами математики? Или же математическая логика настолько универсальна, что для неё пределов не существует?

Гегель — логик и занимается вопросами логического познания, а не тем, о чем думают псевдофилософы — самосознанием, абсолютной идеей или еще какими-то вещами, лежащими за тридевять земель от логики. Самосознание, абсолютная идея, мировой дух — категории, в которые познающее мышление облекает свой предмет, а не просто только субстанциональные сущности, пребывающие вне познающего мышления. Во «Введеннии» к «Науке логики» Гегель тщательно разъясняет и аргументирует свою позицию о связи познающего мышления в категориях и объективной субстанции, содержащейся в этих категориях.

Однако, недостаток способности к логическому мышлению (или просто невнимательность и отсутствие интереса к философии) не позволяют псевдофилософу сосредоточиться на проблемах логики. Уяснить себе, где кончается научный метод познания и начинается собственно философия с ее диалектическим методом. Теорема Кантора (как и антиномии Канта за сто лет до Кантора) явственно обнаруживает указанный предел, но, как видно, в ней мало кто способен разобраться. Поэтому попытаюсь разжевать еще раз.

Докажем, что мощность любого множества меньше мощности множества всех его подмножеств.

А, собственно, в чем проблема-то? Проблема в том, что мир бесконечного значительно отличается от нашего, и всегда, имея дело с бесконечностью, приходится устанавливать, как там обстоят дела? В нашем конечном мире мы можем запросто показать, что если у нас есть некоторое конечное множество, то мощность его подмножеств больше мощности его самого. Например, пусть мы имеем множество из двух элементов М = {1, 2}. Его подмножества: {∅}, {1}, {2}, {1,2}. Таким образом, множество всех подмножеств P(M) содержит 2² = 4 элемента, то есть его мощность выше мощности М. Нетрудно проверить, что при М = {1, 2, 3} мощность P(M) = 2³ = 8. И вообще, по индукции легко показать, что если мощность М равна n, то мощность P(M) равна 2 в степени n.

Но в мире бесконечностей нередко то, что мы называем частью и целым, оказываются равны между собой. Например, количество всех четных чисел равно количеству всех целых чисел. Отрезок [0, 1] содержит столько же точек, сколько и вся вещественная прямая, и т.д. Так что факт, что мощность множества всех подмножеств данного множества больше мощности исходного множества, у нас необходимо под вопросом.

Что мощность М не больше Р(М) – очевидно: ведь множество всех подмножеств содержит в себе все элементы исходного множества. Остается два варианта: либо мощности равны, либо мощность исходного М меньше, чем произведенного из него Р(М). Для краткости обозначим  мощность М – через |М|, а мощность множества всех подмножеств М – через  |Р(М)|. Мы хотим доказать, что неверно, будто бы |М| = |Р(М)|.

Допустим, что дело обстоит наоборот, и |М| = |Р(М)|. Это значит, что существует функция f(x) = y, осуществляющая взаимно однозначное соответствие между элементами М и элементами Р(М): каждому x ∈ M поставлен в соответствие один и только один элемент y ∈ P(M). И наоборот, каждый  y ∈ P(M) является образом одного и только одного прообраза из М.

Рис.1. Это – не взаимно однозначное соответствие.

Рис.2. А это -  взаимно однозначное соответствие.

Здесь мы сталкиваемся с существенной трудностью. Доказать отсутствие взаимно однозначного соответствия между счетной мощностью и мощностью континуума можно очень просто. Пересчитали точки счетного множества, вложили их в континуум, доказали, что всяко найдется точка в континууме, не имеющая своего образа в счетном множестве. И дело с концом.

Но мы-то хотим провести доказательство для множеств любой мощности. Как, например, построить взаимно однозначное соотатствие (или несоответствие) между множеством мощности континуума и множеством мощности всех функций вещественного переменного? Как построить функцию f(x) = y? Здесь математики делают ход, от которого Гегель бы только недовольно поморщился: они постулируют, что во всякой подобной ситуации существует функция выбора как х, так и у. И все. Никто не знает, как эта функция выглядит в нашем, например, случае, просто предполагается, что она существует. Если же не существует, то пиши пропало!

Аксиома выборы – вообще крайне сложная и спорная штучка! Однако, и системы без такой аксиомы особой содержательностью, насколько мне известно, не блещут. Ну, да Бог с ней, с аксиомой! Пусть будет. Пусть мы имеем эту самую f(x) = y.

Сделаем еще одно замечание. Понятно, что все множество М есть подмножество в Р(М) при некотором х. Однако, мы договорились (или давайте договоримся, чтобы жить было проще), что М содержит только элементы в качестве своих элементов, а Р(М) содержит подмножества в качестве своих элементов. Это значит, что в Р(М) содержится пустое подмножество ∅, которое также получается при отображении “ничего из М” при некотором значении х. В первом случае х входит в свой образ f(x):  х ∈ f(x), во втором – не входит: х ∉ f(x).

Поясню на примере, что здесь говорится. Пусть М = {1, 2}. тогда Р(М) = {{∅}, {1}, {2}, {1, 2}}. Построим такую функцию (явно не взимно однозначную) f(1) = {1, 2}, f(2) = {1}.  Здесь элемент 1 отображается f(1) в подмножество, которое его в себе содержит (в {1, 2}), а элемент 2 в f(2) отображается в подмножество, которое его не содержит ( в {1}).

Назовем элементы, отображаемые в подмножество, их содержащее, т.е., элементы, для которых х ∈ f(x),  “хорошими”.

Рис.3. Это – “хороший” элемент а.

 Те же элементы, которые не попадают в отображаемую ими область, т.е., элементы, для которых х ∉ f(x), назовем “плохими”.

Рис.4. Этот элемент а  – “плохой”.

Вышеприведенное замечание гарантирует нам корректность этого определения – “хорошие” и “плохие” элементы существуют во всяком подобном отображении. Некий элемент а, отображающий все множество М в подмножество f(a) ∈ P(M) – “хороший”, а некий z,   для которого f(z) = ∅ ∈ P(M) – “плохой”.

После всех наших договоренностей перейдем, наконец,  собственно к доказательству. Пусть элементы a, b, c, … – “плохие”, т.е. a ∉ f(a),  b ∉ f(b), c ∉ f(c), ….  Тогда в М существует “плохое” подмножество S = {a, b, c, …}, а значит, в М существует, в силу однозначности, такой элемент v, который отображает S в Р(М): f(v) = P (S⊂ M).

Внимание, вопрос: элемент v – “хороший”? или “плохой”?

Ну, может быть, и “хороший”. Но тогда v ∈ f(v) = P (S⊂ M), а так как множество S  – множество “плохих”, то  v – “плохой”.

Ладно, пусть v будет “плохим”, но тогда v ∉ f(v) = P (S⊂ M),   v  не попадает в “плохую” компанию, и, значтит, v – “хороший”.

Обращаясь к рис. 3 и 4, перефразируем ситуацию так: на рис.3 пусть f(a) – подмножество, полученное из  “плохих” элементов из S. Если v туда попал, он “хороший”, потому что “плохой”, а если не попал то “плохой” по рис.4., потому что не попал в “плохие”.

Здесь не нужно изобретать лазеек типа “‘элемент v лежит на границе”. У нас сконструировано только отношение принадлежности элемента множеству и включения множеств. Здесь Родос, здесь и прыгай! Важно, что логическими средствами мы построили какого-то козерога, пытаясь отделить овец от козлищ. Пытаясь сконструировать противоположность, мы, вместе с тем, сконструировали и тождество этих противоположностей. Иными словами, мы вляпались в абсолютное бесконечное с его диалектикой, с логикой бесконечных понятий. Каков выход находит Кантор? Простой: этого не может быть, потому что этого не может быть никогда. И теорема доказана: мощность множества всех подмножеств данного множества выше его мощности.

Итак, мы доказали в сделанных нами предположениях о множествах и логике, что любое, сколь угодно мощное множество погружено в множество с мощностью, еще более умопомрачительной. Любопытно (и очень важно) отметить, что альтернатива этой теореме противоречит не нашему представлению о множестве, а противоречит нашим представлениям о логике.

Действительно, в доказательстве мы получили авторефлексивную структуру. И отказались от исходного предположения, что мощность множества равна мощности множества всех его подмножеств, именно в силу того, что саморефлексивность нам «не нравится».

Ибо дать метафизическое определение бога значит выразить его природу в мыслях, как таковых, а логика обнимает все мысли, пока они остаются еще в форме мысли. (Перевод Б. СТОЛПНЕРА под редакцией А. ДЕБОРИНА и Н. КАРЕВА )

Метафизические определения бога — это его природа, выраженная в мыслях, но форма определений, выраженная на естественном языке не является мыслью, «как таковой», следовательно, такие определения не могут быть выражением природы бога, а, следовательно, и природы бытия, и природы сферы чистых мыслей, тем более. При этом, если логика обнимает все мысли и именно в форме мысли, то, в случае выражения природы бога в мыслях, логика станет отражением бога, в логике отразится природа бога в виде определений, выраженных мыслями как таковыми. Итак, природа бога отражается в логике, логика находится в мышлении Гегеля, следовательно, природа бога отразилась в мышлении Гегеля, а затем с помощью этого мышления и тела Гегеля отразилась на бумагу в виде части «Энциклопедии философских наук» - «Науки логики». Не кощунство ли это — отразить природу бога на ничтожной бумаге?! Но, правда, автор сделал оговорку: «пока они остаются ещё в форме мысли». Следовательно, если и было отражение природы бога, то оно было в мыслях как таковых самого Гегеля, что, конечно, в сравнении с бумагой для бога более почётно, но не менее ничтожно. И ещё сомнение: не есть ли выражение природы бога в мыслях как таковых, понимание бога, следовательно, обретение возможности мыслить как бог, пусть не быть богом (что было бы многовато даже для Гегеля), но мыслить как бог?

А

Посмотрим еще раз на наш путь. Идея Абсолютного в форме представления возникла, по-видимому, в Древнем Востоке.

«Что есть Дао?», - спросили мудреца. Он поставил свои сандалии себе на голову и ушел.

Идея Абсолютного (или Целого — кому как угодно) начинает обретать черты понятия, преобрзовываться из представления в понятие, у древних греков. Становится из предмета философской романистики предметом философии. Оно получает свое первое определение: «Целое есть то, вне чего ничего нет» (Аристотель). Правда, пока совершенно непонятно, зачем об этом размышлять? Какая от этого польза? Однако, на базе философии платонизма развивается сначала богословие, для которого Абсолютное есть источник божественной нравственности, а затем — и наука, стремящаяся опустить исследование категории Целого на почву земной эмпирии. Однако, размышления об Абсолютном в форме науки нас очень быстро разочаровывают. Но, вместе с тем, показывают, с одной стороны, какую огрмную пользу для удовлетворения потребностей общественной практики мы могли бы извлечь, умей мы строить модели Целого, а с другой же стороны, отрицательный опыт науки дает нам эмпиричнский материал для дальнейшего размышления. Гегель пишет:

Размышление, поскольку оно направлено на то, чтобы удовлетворить эту потребность, есть философское мышление в собственном значении этого слова, спекулятивное мышление.

Напомню, для Гегеля, как и для Платона, Аристотеля, Спинозы или Канта философия есть обязательно логическое мышление в понятиях, а не бессодержательное парение в сфере непосредственного субъективного опыта на манер Гуссерля. Хотя последний и выдвигает требования к философии в духе Гегеля, но удовлетворить эти требования оказывается неспособен.

Философское мышление есть обычная наука в сфере построения моделей метафизических объектов посредством конечных понятий, и есть нечто иное («спекулятивное мышление»), когда речь идет о построении диалектических моделей на основе бесконечных понятий. Гегель говорит о сходстве и различии между наукой и философией сначала в общих чертах:

В качестве размышления, которое хотя и имеет общее с размышлением первого рода [с научным мышлением], но одновременно отлично от него, оно кроме общих им обоим форм имеет также формы, свойственные ему одному, которые все сводятся к форме [бесконечного - МИБ] понятия.

Далее Гегель детализирует взаимоотношения философии и науки.

Отсюда видно отношение спекулятивной науки [философии, то бишь] к другим наукам [к науке вообще]. Она не отбрасывает в сторону эмпирического содержания последних, а признает его, пользуется им и делает его своим собственным содержанием: она также признает всеобщее в этих науках, законы, роды и т. д., но она вводит в эти категории другие категории и удерживает их. Различие, таким образом, состоит лишь в этом изменении категорий.

Посмотрим, что пишет Гегель об отношении аристотелевской, формальной логики, и логики диалектической:

Спекулятивная [диалектическая, то бишь] логика содержит в себе предшествующую логику и метафизику, сохраняет те же самые формы мысли, законы и предметы, но вместе с тем развивает их дальше и преобразовывает их с помощью новых категорий.

Точка зрения Гегеля на диалектическую логику понятна. Необходимо найти расширение логики конечных понятий до логики понятий бесконечных с «помощью новых категорий», т. е. дополнить инструментарий логики Аристотеля до возможности оперирования бесконечными понятиями и способов взаимосвязи конечной и бесконечной логик, способов перехода от одной к другой и обратно.

В

Мы видели, что диалектика в той ее форме, которая проповедовалась советским диаматом, совершенно не состоятельна, как метод познания. Однако, и ныне мы находим учителей-"марксистов", излагающих диалектику по Попперу.

Докажем на материалах лекций д-ра М.В.Попова его тождественность понимания диалектической логики Гегеля с пониманием оной д-ром К.Поппером. Взгляд Поппера на диалектическую логику, как на ахинею (правда, выдуманную самим Поппером) мы уже рассматривали. Так что, нам только нужно доказать тождественность в понимании диалектики марксистом Поповым и антимарксистом Поппером.

1. Слушаем М.В.Попова

Лекция «Диалектика Гегеля и марксизм»

Цитата:

До сих пор мы знали с вами, как люди темные, что есть два типа мышления: метафизическое (формальное) и диалектическое. Для метафизического характерно «или А, или не-А, третьего не дано. А для диалектического — Что? Что обо всем можно сказать «А и не-А» одновремено. Правильно? (0:44:34).

(в скобках указано время от начала записи в формате (ЧЧ:ММ:СС))

Замечу, что это же утверждение фигурирует и в лекции, прочитанной для участников движения “Суть Времени”.

Лекция «Диалектика как метод истории» (00:28:48)

Цитата:

Вся трудность состоит в том, что у нас в головах сидит формальная логика. …Так вот. Первый вопрос: «Вы равны самому себе?». Надо ответить: «Да!». Второй вопрос: «Вы неравны самому себе?». Надо ответить: «Да!». И все! Почему так надо ответить? Потому что, в отличие от формальной логики, все изменяющееся изучает диалектика. А диалектика, в отличие от формальной логики, разрешает говорить об одном и том же прямо противоположные утверждения. Раз-ре-ша-ет!. Не только разрешает, – предполагает, что будут противоположные утверждения! И если этого не делать, мы никаких противоречий в жизни не найдем, не сможем их выразить, и наше исследование будет, так сказать, не соответствовать — чему? – объекту. Объект противоречив, а мы хотим непротиворечиво его изложить.

Итак, М.В.Поповв ясно говорит нам, что диалектическая логика есть усеченная формальная логика, логика Аристотеля, в которой закон исключения противоречия упразднен.

2.  Читаем К.Поппера

Цитата:

Верно заметив, что противоречия — особенно, конечно, противоречия между тезисом и антитезисом, которые «создают» прогресс в форме синтеза,— чрезвычайно плодотворны и действительно являются движущей силой любого прогресса в мышлении, диалектики делают вывод — как мы увидим, неверный,— что нет нужды избегать столь плодотворных противоречий. Они даже утверждают, что противоречий вообще нельзя избежать, поскольку они встречаются в мире всегда и повсюду.

Данное утверждение равносильно покушению на так называемый закон противоречия (или, более полно, закон исключения противоречий) традиционной логики, который гласит, что два противоречащих друг другу утверждения не могут быть истинными одновременно или что утверждение, представляющее собой конъюнкцию двух противоречащих утверждений, всегда должно отвергаться как ложное исходя из чисто логических оснований. Ссылаясь на плодотворность противоречий, диалектики заявляют, что от этого закона традиционной логики следует отказаться. Они заявляют, что диалектика приводит тем самым к новой логике — диалектической логике.

Т.е., К. Поппер утверждает, что диалектическая логика есть усеченная формальная логика, логика Аристотеля, в которой закон исключения противоречия упразднен.

Как видим, К.Поппер вполне точно передает точку зрения М.В.Попова (или М.В.Попов вполне точно вписывается в попперовское понимание диалектики).

Таким образом, тождественность понимания диалектической логики марксистом М.В.Поповым и антимарксистом К.Поппером доказана.

Понятно, что такая “логика” не может служить инструментом познания, а только инструментом софистики. И это, как мы уже видели,  очень легко доказать.

Такая “диалектика” человечеству давно знакома и ее несостоятельность вполне выявлена. И Гегель, и Маркс, и Энгельс, и Ленин прекрасно понимали, что такая логика – не диалектическая, а софистическая. И если Ленин писал, что трудность не в принятии факта объективного существования противоречий, а в том, как построить соответствующую этому факту логику, то не надо думать, что он не был знаком с подобным вариантом “диалектической логики”.

Так люди, пройдя физматликбез на мехмате и более халявный, но и более “престижный” ликбез на кафедре политэкономии, находят золотую жилу в том, чтобы вбивать в головы наших студентов чушь, не рекомендованную к употреблению даже Поппером для своих арийцев-англосаксов.

М.В.Попов состоит (сознательно или нет) на службе тех, кто уничтожает интеллектуальный потенциал России. Сторонники д-ра Поппера аплодируют “доктору философии” М.В.Попову.

Все выше, выше и выше

Стремим мы карьерный полет!

И с каждою должностью слышен

Хруст милых зеленых банкнот!

Пусть те, кто отказывается признать, что и бытие и ничто есть лишь переход одного в другое, и утверждает о бытии и ничто то и сё, - пусть они укажут, о чём они говорят, т.е. пусть дадут дефиницию бытия и ничто и пусть докажут, что она правильна. [НЛ, с. 152]

Полемика с кем-то, не указанным явно. Такое впечатление, что Гегель был обижен на кого-то, кто пытался усомниться в том начале науки логики, которое с таким трудом удалось найти и как-то сформулировать Гегелю. При этом, совершенно непонятно, что имел в виду Гегель, утверждая «пусть докажут» данные ими определения. Как можно доказать правильность определений, данные самим Гегелем? И он, что, верил в то, что его рассуждения являются доказательством его определений, или его утверждений об отсутствии определений, которые явлены не чем иным, как определениями? В терминологии Гегеля его «Наука логики» есть становление в качестве самого Гегеля, когда он мыслил её содержание. Читаемый нами текст, уже таковым не является. Можно ли утверждать, что его содержание спекулятивно, т.е. имеет две стороны, единые в становлении? Пока мы этого не можем установить. Но среда перехода противоположностей друг в друга опосредствованно явлена нам в качестве текста «Науки логики» - и это мышление Гегеля, давно канувшее в Лету.