Вот какое понимание термина "АКСИОМА" мы имеем на сегодняшний день:

словарь Даля:
АКСИОМА - очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств.

Философская Энциклопедия:
АКСИОМА - предложение, по какой-либо причине принимаемое в качестве исходного для каких-либо дальнейших рассуждений.

Википедия:
АКСИОМА - исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений.

Математическая Энциклопедия:
АКСИОМА - Основное положение, самоочевидный принцип. В дедуктивных научных теориях Аксиомами называются основные исходные положения той или иной теории, из которых путем дедукции, т. е. чисто логическими средствами, извлекается всё остальное её содержание.

Давайте разберёмся, что же такое Аксиомы, какие существуют типы Аксиом и их устройство.

КЛАССИЧЕСКИЕ Аксиомы (синонимы: принципы, постулаты, законы)

АКСИОМА – начальное утверждение, задающее свойства или отношения для всех элементов некоторого Множества (или нескольких Множеств), заданных с использованием Кванторов Всеобщности. (с) Д.Бояркин

Исходя из того, что аксиомы должны служить основой для ДЕДУКТИВНОГО (аксиоматического) метода логических рассуждений (от всеобщих утверждений к частным следствиям), - каждая Аксиома должна отвечать целому набору требований:

1. Аксиома должна формулироваться в виде УТВЕРЖДЕНИЯ (т.е. логически истинного высказывания, а не отрицания).
2. ЛОГИЧЕСКАЯ ИЗНАЧАЛЬНОСТЬ. Означает, что в данной логической системе (логических рассуждениях) данная Аксиома ниоткуда логически не вытекает и никак логически не доказывается - то есть, это может быть совершенно произвольным утверждением, лишь бы оно соответствовало всем требованиям построения аксиом.
3. ВСЕОБЩНОСТЬ. Для этого "аксиоматические Множества", для элементов которых задаются общие свойства, обязательно должны задаваться при помощи Кванторов Всеобщности - таких слов как: все, всё, везде, каждый, любой, всегда, никто, ничто, нигде, никакой, никогда и т.д.

Самое сложное в устройстве Аксиом, - это разобраться с тем, каким образом (откуда) задаются Множества, про которых говорится в Аксиомах. Эти множества задаются по-разному в зависимости от того, является ли Аксиома "одиночной" или мы имеем дело с целой "Системой Аксиом" (таких, как геометрия, законы механики).

4. В "СИСТЕМАХ АКСИОМ" элементы аксиоматических множеств (их называют "начальными понятиями") взаимоопределяются внутри самих этих аксиом. То есть элементами таких аксиоматических множеств является то, о чём говорится во всех аксиомах данной системы аксиом. К примеру, "геометрическая точка" – это всё то, что удовлетворяет всем свойствам "точек" данной геометрии. Для "систем аксиом" никаких определений Множествам (т.е. "начальным понятиям") отдельными утверждениями ВНЕ этих "систем аксиом" (геометрии, механики, в частности) не должно быть. Допустимо разве давать некоторые ПОЯСНЕНИЯ этим Множествам ("начальным понятиям"), чтобы облегчить их интуитивное восприятие.
5. В "ОДИНОЧНЫХ АКСИОМАХ" нет никаких "начальных понятий" и там могут фигурировать только "названия множеств" без каких-либо непосредственных перечислений "элементов множеств" самой аксиомы. Дело в том, что в противном случае это не даст НОВЫХ знаний, поскольку логические заключения будут совпадать с посылками. Иначе говоря, в одиночных аксиомах элементы "аксиоматических Множеств" должны задаваться ВНЕ этих одиночных аксиом.

Такое утверждение: "Сократ, Петя, Вася, ..., - смертны", – брать в качестве Аксиомы нельзя, поскольку частные следствия из него, допустим, - "Сократ - смертен" – НЕ является НОВЫМ знанием, так как полностью совпадает с содержанием самой "Аксиомы".

А вот утверждение "ВСЕ люди смертны" – уже является правильно сформулированной аксиомой, поскольку логические следствия, скажем, "Сократ смертен" – уже относятся к НОВЫМ знаниям, так как в самой аксиоме о Сократе ничего не говорилось. Сократ был взят как частная посылка как элемент множества "Люди".

Хотя это и может показаться несколько странным, но в "одиночных аксиомах" никакой необходимости в чётком определении используемых "аксиоматических Множеств" нет. Скажем, дать точное определению таким множествам как: "Люди", "Действия", "События" и т.д., - весьма затруднительно, и в таких случаях достаточно общих пояснений, чтобы далее интуиция сама определила, что конкретно входит в данное Множество.

Тем не менее даже если Множество задаётся вне одиночной аксиомы, всё равно строго-настрого запрещается задавать "элементы множеств" перечислением чисто СУБЪЕКТИВНО, - так как это внесёт Субъективность во все дальнейшие логические рассуждения, чего при ДЕДУКЦИИ не должно быть. К примеру, множество, состоящее из элементов: "Иванов, Петров, Сидоров" (задано простым перечислением), - будет являться чисто Субъективным, и, соответственно, все следствия из Аксиом с таким Множеством будут давать исключительно Субъективные логические следствия, - т.е. являться личным мнением, а вовсе не строгим логическим доказательством.

Ещё пример. Если использовать в Аксиоме множество "Жильцы дома № 2" – пусть его элементами будут хоть те же: "Иванов, Петров, Сидоров", - то это уже можно использовать для логического доказательства, поскольку список жильцов не выдумывается произвольно. Здесь субъективности нет.

Что касается "свойств и отношений" элементов аксиоматического множества – к ним никаких требований не предъявляется - они могут быть абсолютно любыми, лишь бы было бы понятно, что это такое вообще.

Важно заметить, что к аксиомам НЕ предъявляется требование "ОЧЕВИДНОСТИ". Также к аксиомам НЕ предъявляется требования соответствия их логических следствий наблюдаемым ФАКТАМ - но только в тех случаях, когда Теории, базирующиеся на таких Аксиомах, не претендуют быть прикладными (адекватными) теориями. Аксиомам можно давать ПОЯСНЕНИЯ, "обосновывающие" данную формулировку аксиомы: например, это может быть обобщение некоторых ФАКТОВ. Но всегда надо иметь в виду, что подобные пояснения-обоснования никаким "логическим доказательством" данной аксиомы не являются.

Таким образом, если некое высказывание удовлетворяет всем вышеуказанным "аксиоматическим требованиям", то такое высказывание относится к классическому типу Аксиом.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Вторичные (производные, выводимые) Аксиомы

Следует признать, что на практике часто используется множество различных ОДИНОЧНЫХ Аксиом (постулатов, принципов, законов), которые на самом деле логически изначальными не являются. Особенно это распространено в физике.

К примеру, законы Кеплера применяются в качестве Аксиом для расчётов траекторий движений планет, хотя они выводятся из законов классической механики. Допустимо ли их называть "законами" (аксиомами, постулатами)? - Да, вполне допустимо и оправдано, поскольку использование подобных "выводимых" (не изначальных) Аксиом существенно упрощает расчёты, значительно сокращая путь логических рассуждений.

Фактически, получается, что на практике требование "изначальности" для аксиом (законов, постулатов, принципов) выполняется далеко не всегда, тем не менее это нисколько не отменяет их статус "Аксиом", поскольку они используются для решения вполне определённого – более узкого - круга задач, где эти "вторичные аксиомы" по факту являться изначальными для последующего ДЕДУКТИВНОГО вывода.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Аксиомы-ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Кроме аксиом классического типа (в которых задаются свойства для ВСЕХ элементов аксиоматических множеств), существует ещё один тип Аксиом - "аксиомы-ОПРЕДЕЛЕНИЯ", когда уже само "аксиоматическое МНОЖЕСТВО" задаётся согласно одинаковости неких свойств или отношений её элементов.

Скажем, утверждение "Врач – это человек, который лечит людей." Берём частную посылку "Петров лечит людей" и получаем логическое заключение: "Петров – врач".

Как видим, здесь так же работает ДЕДУКЦИЯ (рассуждения от всеобщего к частному) – исходя из свойства, характерного для каждого элемента аксиоматического множества "Врачи", мы вычисляем принадлежность выбранного элемента к данному "аксиоматическому множеству" – принадлежит ли этот элемент этому множеству или нет.

Такие "аксиомы-определения" используются для различных классификаций и заданий структур между элементами множеств.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Аксиомы-ПОСЫЛКИ

Есть особый тип утверждений, которые хотя и НАЗЫВАЮТСЯ "аксиомами" (принципами, постулатами), но которые никак не относятся ни к "аксиомам в классическом виде" (поскольку в их формулировках нет ни Кванторов Всеобщности, ни аксиоматических множеств), ни к "аксиомам-определениям" (поскольку не задают Всеобщих свойств для элементов своих множеств). Эти особые "аксиомы" только указывают принадлежность какого-либо единичного объекта некоторому аксиоматическому множеству – т.е. по своей сути являются НАЧАЛЬНЫМИ ПОСЫЛКАМИ. Именно в таком качестве – в качестве начальных посылок - они и используются для получения ДЕДУКТИВНЫХ логических следствий. Примерами подобных "аксиом-посылок" могут служить такие известные постулаты как "Земля круглая" (точнее, имеет форму шара) или "Земля вращается вокруг Солнца".

Важно отметить, что Дедукция  из "аксиом-посылок" реализуется вовсе не через них самих, а через другие аксиомы, в которые эти "аксиомы-посылки" входят в виде элементов множеств этих аксиом. Например, для случая аксиомы-посылки "Земля круглая" ДЕДУКТИВНЫЕ рассуждения (т.е. от общего к частному) строятся из классических аксиом геометрии, где в логических рассуждениях задействована аксиома-посылка "Земля круглая". Без классических аксиом геометрии из данной одиночной "аксиомы-посылки" никаких логических следствий извлечь не получится. Таким образом, "аксиомы-посылки" возможны только в увязке с другими – непременно классическими аксиомами, где присутствует Всеобщность.

И хотя "аксиомы-посылки" по своей сути аксиомами НЕ являются, тем не менее следует признать, что в некоторых случаях всё-таки их удобно НАЗЫВАТЬ именно "аксиомами" (постулатами, принципами) из-за большого числа важных Дедуктивных следствий, где они выступают в качестве "начальных посылок". И даже несмотря на научную важность таких следствий, подобные "аксиомы" всё равно не могут иметь статуса аксиомы, так как в них от аксиом одно только название, но не суть.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Отметим самые важные моменты:

1. Существует два типа аксиом: а) классические и б) аксиомы-определения.
2. "Классические Аксиомы" могут быть как "одиночными", так и могут образовывать целые "системы аксиом".
3. В "системах аксиом" элементы аксиоматических множеств (они же – "начальные понятия") задаются ВНУТРИ содержания самих аксиом, входящих в данную систему.
4. В "одиночных аксиомах" элементы аксиоматических множеств задаются ВНЕ этих "одиночных аксиом". И здесь самое важное, чтобы эти элементы задавались не Субъективно.
5. Во всех аксиомах всегда должен присутствовать (или подразумеваться) Квантор всеобщности.
6. Аксиомы-посылки по своей сути аксиомами не являются.

Большая просьба ко всем:

• Излагайте свою мысль как можно короче и как можно проще.
• Вести обсуждение следует только со мной, а НЕ между собой.
• Ваш аватар в моей теме - обязателен!